Mathématiques - Series de Taylors...

Series de Taylors...
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Posted by: pouik

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à résoudre ce petit exo auquel je ne comprends rien. Merci d'avance pour votre aide.

Soit $h$ une application de classe $C^{\infty}$ sur un intervalle $[0;a[$ (avec $a>0$ ) et vérifiant
$\forall x \in [0;a[, \forall n \in N, h^{(n)}(x) \ge (x)$
Pour $x \in [0;a[$ et $n \in N$ , on note $R_n(x) = h(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{h^{(k)}(0)}{k!}x^k$ .
1. Prouver la relation $R_n = x^{n+1} \int_{0}^{1} \frac{(1-u)^nh^{(n+1)}(xu)}{n!}du$ .
2. Pour tout couple $(x,y)$ tel que $0<x<y<a$ et tout entier naturel $n$ , montrer que
$0 \le R_n(x) \le (\frac{x}{y})^{n+1} R_n(y) \le (\frac{x}{y})^{n+1} h(y)$
3. En déduire que $h$ est la somme de sa série de Taylor sur $[0,a[$ .

Posted by: pouik

Pour la quaestion 1., ca me fait penser à la formule de Taylor avec reste intégrale, mais je ne vois pas bien comment l'exploiter ! avez vous des idées ?

Merci d'avance.

Posted by: ThSQ

Ouais c'est Taylor avec reste intégral (f(x) = f(0) + ...) + changement de variable t = x*u

2 : f^(n) est une fonction croissante

Posted by: pouik

Citation:

Posté par ThSQ

Ouais c'est Taylor avec reste intégral (f(x) = f(0) + ...) + changement de variable t = x*u

2 : f^(n) est une fonction croissante

Merci mais à quoi correspond la fonction f ?
Sinon dois-je justifier le changement de variable ? ou puis-je me contenter de dire que l'on obtient le resultat escompté en posant le changement de variable ...

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par pouik

f = h, sorry.

Le changt de variable se justifie comme d'hab (ici tout est C^°°)