comment trouver la nature de la série de terme général
u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
sans utiliser Stirling ????
merci
Posted by: Romain Beauxis
Ragnartichaud wrote:
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????
Je ne comprend pas ta question..
Stirling, quand il a démontré sa formule a bien du montrer cette convergence
autrement que par "stirling" qui n'existait alors pas....
de mémoire, je crois que ct avec des logs, mais là je suis plus sûr...
Romain
Posted by: Lukas Reck
"Ragnartichaud" <ragnartichaud@free.fr> wrote
>comment trouver la nature de la série de terme général
>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>sans utiliser Stirling ????
c difficile...
sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne
u(n) = exp ln u(n)
= exp (n ln n - n ln e + 1/2 ln n - somme de 1 à n log k)
= exp (n ln n - n + 1/2 ln n - n ln n + n + theta log n)
= exp ((theta+1/2) log n)
= n^(theta+1/2), 0 < theta < 1,
donc n^(1/2) < u(n) < n^(3/2). bof.
Posted by: Romain Beauxis
Lukas Reck wrote:
> "Ragnartichaud" <ragnartichaud@free.fr> wrote
>
>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>sans utiliser Stirling ????
>
> c difficile...
>
> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
> theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne
S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
sans en parler!
D'où je ne comprend pas la question encore une fois...
R
Posted by: Lukas Reck
Romain Beauxis <beauxir5@cti.ecp.fr> wrote
>Lukas Reck wrote:
>
>> "Ragnartichaud" <ragnartichaud@free.fr> wrote
>>
>>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>>sans utiliser Stirling ????
>>
>> c difficile...
>>
>> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
>> theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne
>
>S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
>
>S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
>
>On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
>sans en parler!
Au moins le mi-Stirling... t'as raison. concluons que l'énoncé est
idiot =).
Posted by: Ragnartichaud
C juste que la de'rnière fois que j'ai utilisé Stirling, mon prof a dit que
ct sortir le bazooka pour tuer la mouche, donc j'aimerai bien savoir s'il y
a moyen de pazs l'utiliser ici.
Posted by: Frederic
On Tue, 17 Feb 2004 02:04:34 +0100, Romain Beauxis <beauxir5@cti.ecp.fr> wrote:
>Lukas Reck wrote:
>
>> "Ragnartichaud" <ragnartichaud@free.fr> wrote
>>
>>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>>sans utiliser Stirling ????
>>
>> c difficile...
>>
>> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
>> theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne
>
>S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
>
>S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
>
>On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
>sans en parler!
Effectivement ! Mais le but de l'exercice en question semble
justement de montrer la formule de Stirling, donc utiliser
la formule en question pour résoudre l'exo, c'est un peu...
discutable.
Posted by: Yann Villessuzanne
"Ragnartichaud" wrote in message
<4031446b$0$28126$626a14ce@news.free.fr>:
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????
On peut calculer v(n) = u(n+1) / u(n), simplifier et montrer qu'on a
v(n) = 1 + O(1/n^2).
De là, on en déduit (exercice) que le produit des v(n) converge,
d'où le résultat.
Comme ça, on obtient facilement la nature, mais pas la limite.
--
Yann
Posted by: A.J.
"Ragnartichaud" <ragnartichaud@free.fr> a écrit dans le message de
news:4031446b$0$28126$626a14ce@news.free.fr...
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????
>
> merci
Il me semble qu'on peut déduire quelque chose de :
u(n+1)/u(n)