Serie - Rayon de convergence

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Posted by: Babe

Bonjour,

Voila j'essai de m'avancer sur un chapitre que je vais voir plus tard
j'ai lu un cours sur le net mais ce n'est pas tres clair
si quelqu'un peut m'aider pour traiter ces quelques questions, ce serait sympa

1) déterminez le rayon de la série 3$ \sum_{n\ge1} \frac{ln(n)}{n}x^n

2) Montrez que la suite de terme géneral ln(n)/n est monotone à partir d'un certain rang que l'on precisera. en deduire la nature de la série 3$ \sum_{n\ge1} \frac{ln(n)}{n}(-1)^n

3) determinez la nature de 3$ \sum_{n\ge1} \frac{ln(n)}{n}
la serie 3$ \sum_{n\ge1} \frac{ln(n)}{n}(-1)^n est elle absolument convergente ?

4) Calculer 3$ \int_{a}^ b\frac{ln(t)}{t}dt ou a et b strictements positifs

merci d'avance


Posted by: klevia

salut, tiens c'est bizarre pour faire la question 1 je fais la 3 d'abord !!!

1) si x=1 , on a (ln n)/n>1/n et \sum \frac{1}{n} diverge
d'ou R\le1

soit k<1 , on a pour tout n>2\frac{ln n}{n} k^n\le k^n
et \sum k^n converge dou R\ge1 d'ou R=1


Posted by: klevia

2) il faut remarquer que ln 1=0
puis étudier f(x)= ( ln x ) / x sur [1,+ +inf] on voit que c'est décroissant à partir du rang 3 car 2< e < 3

d' ou critère des series alternés ....
3) deja fait


Posted by: Babe

Citation:
Posté par klevia
1) si x=1 , on a (ln n)/n>1/n et © \frac{1}{n} diverge
d'ou R\le1

je ne comprends pas le passage de "diverge d'où R\le1"
ln n/n > 1/n et 3$ \sum \frac{1}{n} diverge donc 3$ \sum_{n\ge1} \frac{ln n}{n}diverge ?
quand une somme diverge son rayon est forcement \le1 ?


Posted by: klevia

Tout d'abord, en posant x=1
je montre que la serie de terme general (ln n)/n car je minore son terme général par le terme général d'une série divergente. attention ceci est vrai à partir d'un certain n...
Maintenant quelle est la définition du rayon de convergence d'une série ?
c'est le sup { xappartenant à r / la serie de terme générale (ln n)/n converge}
d'ou comme pour x=1 ca diverge alors R\le1


Posted by: Babe

pour la 4) j'ai trouvé
pour la 3) Ln/n converge mais est ce que \sum \frac{Ln}{n}(-1)^n est absolument convergente ?


Posted by: Babe

je cite wikipedia
"en revanche, pour \sum \frac{Ln}{n}, bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans autre théorème. Par un critère de comparaison qui sera détaillé ci-dessous, on peut montrer que c'est une série divergente (cas particulier de série de Bertrand). Ce qui montre qu'il n'y a pas équivalence dans le théorème : il existe des séries divergentes, non grossièrement divergentes."

pourtant on a l'impression qu'elle converge...


Posted by: fatal_error

Bonjour,

comme l'a dit Klevia,
\sum ln/n DVG car \sum 1/n DVG

Pour \sum ln/n (-1)^n , ca converge, theoreme d'abel.
Si on dit que ca converge absolument, ca veut dire que \sum abs(ln/n (-1)^n) = \sum ln/n CV ce qui est faux. C'est semi convergent.










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