série numérique

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: pedro42

bonjour,

1 ) je dois donner la limite Sn= ∑ 1 / √(( n+p)(n+p+1)) lorsque n tend vers l’infini ( p variant de 1 à n)

2) la nature de la série ∑ Sn


j'ai encadré et je trouve que la limite de Sn est comprise entre (1/2) et 1
je ne peux donc pas conclure!

pourriez vous m'aider svp
merci d'avance


Posted by: tize

Je ne veux pas trop m'avancer mais il me semble que l'on peut transformer ceci en une somme de Riemann...non ?
Oui, on peut encadrer par deux somme de riemann ( ou presque), je trouve \ln(2) comme limite.


Posted by: klevia

Si lim Sn est compris entre 1/2 et 1 alors lim Sn différent de 0 et som (Sn) diverge !


Posted by: pedro42

si la limite est comprise entre 1/2 et 1, en effet elle est différente de 0 donc la série diverge mais je dois calculer précisement cette limite,


j'ai pensé utiliser la somme de Riemann mais je n'est pas aboutis.
en mettant 1/n en facteur, on a 1/n ∑ 1 / √ ( 1+p/n)(1+p/n+1/n)

et le 1/n de la dernière parenthèse empeche de faire la somme de riemann

je ne vois donc pas comment trouver ln 2


Posted by: tize

\frac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{n}\frac{1}{(1+(p+1)/n)}\leq<br /> \frac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{(1+ p/n)(1+(p+1)/n)}}\leq \frac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{n}\frac{1}{(1+p/n)} et encore un tout petit peu de travail...


Posted by: pedro42

pour la somme de droite elle est égale à l'intégrale entre 0 et 1 de f(x) dx avec f(x) = 1/ (1+x) donc ça fait ln(2)

et pour celle de gauche, le principe est le même mais normalement pour les séries de Riemann il faut avoir ....f ( k/n)

peut-on poser p+1 = k ? car dans ce cas on trouve aussi ln 2 donc la limite serait égale à ln 2 par le théorème d'encadrement


Posted by: tize

Ré indexele membre de gauche : \frac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{n}\frac{1}{(1+(p+1)/n)}=\frac{1}{n}\sum\limits_{p=2}^{n+1}\frac{1}{(1+ p/n)}=\frac{1}{n}\(\(\sum\limits_{p=1}^{n}\frac{1}{( 1+p/n)}\)+\frac{1}{1+(n+1)/n}-\frac{1}{1+1/n}\)
\frac{1}{1+(n+1)/n}-\frac{1}{1+1/n} est négligeable quand on multiplie par 1/n la limite est donc la même...










-