série de fourier

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Posted by: thedream01

Bonjour,
voici mon problème:
On doit dire si cette assertion est vraie ou fausse:
si f et g sont deux foctions de R dans R, 2*Pi periodique et continues et si Cn(f)=Cn(g) pour tout n dans Z, alors f=g sur R.

Comme contre exemple, j'ai donné les fonctions constantes sur R: f=0 et g=1.
ça marche non?
merci d'avance.


Posted by: tize

Bonjour,
c'est vrai : Si deux fonctions intégrables ont même coefficients de Fourier alors elles sont égales presque partout, ici les deux fonctions sont continues 2\pi périodiques elles sont donc égales partout.


Posted by: thedream01

C'est bien ce qu'il me samblait, mais je ne vois pas où est l'erreur dans le contre exemple que j'ai donné?!
Est-ce que ça serait possible d'avoir une démonstration de ça?
Merci


Posted by: alben

bonjour,
leurs coefficients pour n=0 ne sont pas égaux !


Posted by: thedream01

ah oui! merci...je l'avais oublié lui!
Pour la démo, il suffit de montrer que Cn est linéaire. Donc Cn(f-g)=0, donc f=g. c'est ça?


Posted by: serge75

Faux, dream, tu utilises l'injectivité de Cn, qui est fausse.
Une preuve est possible avec Parseval :
Soit h=f-g. Comme la norme quadratique est une norme sur l'espace des fonctions CONTINUES et T-périodique, Parseval t'indique que la norme de h est nulle et partant de cela que h=0, d'où f=g.


Posted by: thedream01

oui oui, c'est ce que j'ai fait:
J'ai montré que Cn est linéaire puis j'ai utilisé Parseval...
En fait j'ai dit que: Cn(f)-Cn(g)=0 <=> Cn(f-g)=0 car Cn est linéaire.
Puis j'ai appliqué Parseval à h=f-g.
Merci...


Posted by: B_J

Bonjour ;
la valeur de l'integrale ne change pas si on modifie la valeur d'une fonction en un nombre fini de points


Posted by: thedream01

il me semble même qu'elle ne change pas si on modifie la valeur de la fonction en un ensemble dénombrable de point non???
mais quel est le rapport?


Posted by: B_J

f(x)=x² sur [a,b] ; b>a>0
g(x)=x² si x non nul et g((a+b)/2)=0 par exemple
ont les memes coeffs de Fourier mais elles sont differentes


Posted by: fahr451

y a pas de périodicité ds ton exemple bj ?


Posted by: B_J

Citation:
Posté par fahr451
y a pas de périodicité ds ton exemple bj ?

on prolonge f et g sur R par periodicité bien sur !


Posted by: fahr451

heu

si [a,b] n'est pas de longueur 2pi c'est soit impossible soit pas unique


Posted by: B_J

Citation:
Posté par thedream01
...et continues...

au temps pour moi
j'avais pas vu l'hypothese de continuité


Posted by: B_J

Citation:
Posté par fahr451
heu

si [a,b] n'est pas de longueur 2pi c'est soit impossible soit pas unique

la periode importe peu puisque on peut se ramener a ce cas via un chgt de variable


Posted by: fahr451

bon alors b-a périodique entendu

mais ne sont pas continues

il y a bien égalité PRESQUE PARTOUT


Posted by: B_J

Citation:
Posté par fahr451
bon alors b-a périodique entendu

mais ne sont pas continues

il y a bien égalité PRESQUE PARTOUT

tout a fait d'accord










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