J'ai un doute, peut etre infondé, sur un résultat que m'a sorti mon prof.
On étudiait une série de fonction et a la fin on tombe, grosso modo, a
montrer que la série x^(ln(n)) converge (par rapport a n)
Mon prof me dit que c'est un o(1/n^2) avec x dans [0, 1[ et que donc ca
converge dans cet intervalle.
Or moi j'ai x^(ln(n))*n^2 = exp ( ln(n)*(ln(x)+2) ) qui converge bien vers
0 que si ln(x)+2 < 0 ... or si on prend par exemple x=1/2 on a
ln(1/2)+2=1.3... > 0 donc probleme...
Alors peut etre que je suis completement a coté et qu'il faut que je
dorme... mais ou est l'erreur?
merci
note: l'exo de départ consistait a étudier la convergence de la série
de terme général x^Hn, avec Hn la série harmonique jusqu'au rang n.
V.
Posted by: Cyberchand
"Jeff" <gyvidal@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news: pan.2004.12.01.16.25.20.642884@wanadoo.fr...
> J'ai un doute, peut etre infondé, sur un résultat que m'a sorti mon prof.
>
> On étudiait une série de fonction et a la fin on tombe, grosso modo, a
> montrer que la série x^(ln(n)) converge (par rapport a n)
>
> Mon prof me dit que c'est un o(1/n^2) avec x dans [0, 1[ et que donc ca
> converge dans cet intervalle.
Je dirais que x^(ln(n)) = exp(ln(n) * ln(x)) = n^x, non? Dans ce cas la
convergence a lieu pour x < -1.
Posted by: Jeff
Le Wed, 01 Dec 2004 17:48:49 +0100, Cyberchand a écrit*:
> Je dirais que x^(ln(n)) = exp(ln(n) * ln(x)) = n^x, non?
non...
Posted by: Cyberchand
"Jeff" <gyvidal@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news: pan.2004.12.01.19.06.59.569873@wanadoo.fr...
> Le Wed, 01 Dec 2004 17:48:49 +0100, Cyberchand a écrit :
>
>> Je dirais que x^(ln(n)) = exp(ln(n) * ln(x)) = n^x, non?
>
> non...
>
>
n^(ln(x)) plutôt, qui converge donc pour ln(x)<-1, soit 0<x<1/e.
Posted by: Romain M
> Or moi j'ai x^(ln(n))*n^2 = exp ( ln(n)*(ln(x)+2) ) qui converge bien vers
> 0 que si ln(x)+2 < 0
Oui.
Et ca vaut 1 pour x=exp(-2).
Donc, pour x dans [0, exp(-2)[, x^ln(n) est un o(1/n²),
et (exp(-2))^ln(n) = 1/n².
Posted by: Jeff
Le Wed, 01 Dec 2004 20:30:23 +0100, Romain M a écrit*:
>> Or moi j'ai x^(ln(n))*n^2 = exp ( ln(n)*(ln(x)+2) ) qui converge bien vers
>> 0 que si ln(x)+2 < 0
>
> Oui.
> Et ca vaut 1 pour x=exp(-2).
>
> Donc, pour x dans [0, exp(-2)[, x^ln(n) est un o(1/n²),
> et (exp(-2))^ln(n) = 1/n².
OK c'est bien ce que je pensais...
Et concernant la série des x^Hn, avec Hn la série harmonique ?
Est-ce qu'on peut avancer que comme Hn < n, on a x^Hn < x^n qui est le
terme général d'une série géométrique qui converge ssi |x| < 1 ?