Mathématiques - série entière

série entière
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Posted by: MacManus

Bonjour

j'essaye de faire quelques exercices pour la forme car j'ai peu à peu oublié certaines choses. Peut-on me donner quelques indications pour celui-ci ?

Je cherche à calculer la somme de la série entière $\large \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2}x^n$

Merci.

Posted by: uztop

Bonjour,

d'abord, il faut s'assurer que ta série converge.
Ensuite, j'aurais bien envie de dériver pour faire disparaitre les termes en n² au dénominateur.

Posted by: MacManus

Ok on voit que le terme général (1/n²) de cette série entière est à termes strictement positifs et tend vers 0 (c'est suffisant je pense pour assurer la convergen...non?)

Le rayon de convergence de cette série vaut 1.

$\large (\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2}x^n)' = \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}x^{n-1}$

c'est bien ça ?

Posted by: uztop

attention x^n n'est pas une constante.
De plus, il n'est pas suffisant que le terme général de la suite tende vers 0 (par exemple $\large \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}$ diverge )
Pour la dérivée:

$\large (\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2}x^n)' = \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}x^{n-1} = \frac{1}{x}.\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}x^{n}$

Tu peux maintenant essayer de dériver encore une fois $\large\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}x^{n}$ ; ca va te donner quelque chose de plus exploitable

Posted by: MacManus

oui on peut dire plutôt que la série de terme général $\frac{1}{n^2}$ converge car c'est une série de Riemann (de somme $\frac{\pi^2}{6}$ )

$\large (\sum_{n \ge 1}\frac{x^n}{n})' = \sum_{n \ge 0}x^n$
suite géométrique de raison x (avec |x|< 1)
Donc on peut dire que cette somme vaut $\frac{1}{1-x}$

est-ce correct ??
merci

Posted by: uztop

oui, pour la convergence, il faut dire que la série ne converge que si |x|<=1.
Pour la dérivée, c'est ça (enfin la somme commence à 0, je crois que c'est ce que tu voulais dire), maintenant, il faut retrouver la fonction d'origine.

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par MacManus

oui on peut dire plutôt que la série de terme général $\frac{1}{n^2}$ converge car c'est une série de Riemann (de somme $\frac{\pi^2}{6}$ )

$\large (\sum_{n \ge 1}\frac{x^n}{n})' = \sum_{n \ge 0}x^n$
suite géométrique de raison x (avec |x|< 1)
Donc on peut dire que cette somme vaut $\frac{1}{1-x}$

est-ce correct ??
merci

Il faut utiliser le critère du rapport pour donner le rayon de convergence

Posted by: uztop

Riemann fonctionne bien:
si |x|<=1 , on peut majorer par la valeur absolue du terme général par 1/n² qui est une série convergente (Riemann), donc la série converge
Sinon, le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement

Posted by: MacManus

J'obtiens la somme de $\large (\sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2}x^n)^{''}$ qui est $\frac{1}{x(1-x)}$ . Je peux alors décomposer cette fraction en éléments simples ( $\frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ ). En utilisant les DL en 0 je pourrai intégrer par rapport à x et trouver la somme de la série $\large \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2}x^n$

Est-ce une bonne vision des choses ?
Cependant je ne vois pas comment trouver de DL en 0 de 1/x...

merci encore.

Posted by: MacManus

D'accord Uztop je comprends bien tes explications pour les critères de convergence! et merci Clembou je suis égalemnt d'accord ! :)

Posted by: uztop

non, c'est pas tout à fat ça:
$(\large \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}x^n)' = \frac{1}{(1-x)}$
Donc $\large \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}x^n = ln|1-x| + k$
Pour déterminer k, on peut prendre par exemple x=0 et on voit que k=0

On a donc maintenant
$(\large \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2}x^n)' = \frac{1}{x}. ln|1-x|$
Il faut donc intégrer cette dernière expression pour trouver le résultat final.

Posted by: MacManus

Ah oui merci effectivement j'ai tout simplement oublier d'intégrer...bon!
Il s'agit bien d'intégrer entre -1 et 1 , n'est-ce pas?
en faisant une IPP ca doit aller...mais je cale un peu, je vais continuer à chercher

Posted by: uztop

non, pas d'intégrer entre -1 et 1. En fait, il faut calculer la primitive (le mot intégrer n'est pas tout à fait exact)

Posted by: MacManus

Oui en fait je m'en doutais un peu... mais je par contre je ne suis pas sûr du résultat...

Posted by: fatal_error

Salut,

edit:*ne sait pas faire une Ipp*