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Posted by: Dyo

Bonjour,

J'ai du mal avec cet exo, y'a un truc qui a du m'échapper.

Soit f(z)=\bigsum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{z+n}.
1) Montrer que f converge uniformément sur tout compact de \mathbb{C}-\mathbb{Z}_{-}^*.
2) Développer f en série au voisinage de 0.

Pour la 1) j'ai essayé plein de choses en vain (Weierstrass ...).
Pour la 2) j'ai essayé de calculé le coefficient a_n mais je n'aboutis pas.

Merci pour vos indications !


Posted by: ThSQ

z = a+ib

\frac{(-1)^n}{z+n} = \frac{(-1)^n}{a+n} + truc \, \, a \, plumes \, en \, 1/n^2

\frac{(-1)^n}{a+n} est une série alternée réelle donc est unif conv sur tout intervalle fermé réel sans nombre entier < 0 (le reste est majoré par le 1er terme négligée) et le truc à plumes est en O(1/n^2) sur un compact comme dit donc normalement conv.

Pour le deuze, 1/(z+n) = 1/n (1/(1+z/n))


Posted by: Dyo

Ok merci bien ThSQ ;)

En fait ca ne fait pas vraiment référence au cours, mais plutôt à des astuces de calcul :x










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