Mathématiques - Série entière

Série entière
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Posted by: Holomorph

Bonjour, j'ai quelques petits soucis avec l'exercice suivant.

Enoncé

Soit $P_q$ un polynôme de degré $q\geq 0$ .
(1) Calculer le rayon de convergence de
$ \sum_{m=0}^{\infty} P_{q}(m)z^{m}. $
(2) Déterminer la nature de la somme de la série et calculer celle-ci.
Indication. Procéder par récurrence sur $q$ et multiplier par $(z-1)$
(3) Comment peut-on généraliser ce résultat ?

Mes recherches sur la question

Le point (1) ne me pose pas de problème. Le rayon de convergence est $1$ vu le critère du quotient.

Le point (2) me pose quelques soucis. Comme indiqué, je procède par récurrence. Le cas de base $q=0$ est assez évident car on observe directement la série géométrique. Par contre, pour la récurrence, je ne vois pas du tout. J'ai déjà calculé les cas $q=1,2,3$ , mais en vain.

N'ayant pas trouvé le point (2), je ne saurais pas réfléchir sur le point (3).

Merci de votre aide...

Posted by: Holomorph

Personne ne semble interesser par mon problème ! Peut-être que plusieurs personnes ne sont pas plus inspirés que moi...

Posted by: fahr451

bonjour

calcule la somme lorsque
P
P =Pk = X(X-1)...(X-k+1) ; P0= 1
puis utilise que

(P0,...,Pq) est une base de Rq[X]

Posted by: Holomorph

En tout cas, merci de prendre part et de réfléchir à mon exercice.

Je ne crois pas que ça me servirait à grand chose car il s'agit de polynômes complexes. De plus, pour avoir la récurrence, je dois pouvoir écrire $P_{q+1}$ à l'aide des autres polynômes. Je ne peux l'écrire à l'aide de la base proposée vu qu'il est de degré $q+1$ et les autres sont au plus de degré $q$ .

Si je me trompe, c'est que je n'ai pas saisi l'idée proposée...

Je vais peut-être situé le cadre du cours où l'exercice m'a été proposé. Il s'agit d'un exercice de révision sur la théorie élémentaire des fonctions holomorphes (Définition, représentation de Cauchy, Séries, Taylor, Laurent, Résidus,...) avant de commencer le complément sur la théorie plus "globale" des fonctions d'une variable complexe et l'introduction des fonctions de variables complexes...

Posted by: fahr451

heu

R ou C ne change rien on a tjrs une base

il n'y a pas de récurrence dans ma méhode c'est immédiat

tu as fait le calcul au moins avec Pk ? (immédiat)
Pour P dans Cq[X] P est cbl des Pk k = 0,...,q

Posted by: Holomorph

Pour ne pas me mélanger avec les notations, je rebaptise
$B_k(z)=z(z-1)...(z-k+1)$
Ainsi, j'ai calculé les premiers : $B_0(z)=1, B_1(z)=z, B_2(z)=z^2-z, B_3(z)=z^3-3z^2+2z, B_4(z)=z^4-6z^3+11z^2-6z$ .
J'essaye d'écrire les polynômes $P_q (q\geq 0)$ en fonction des $B_k$ :
$ \bullet\, P_0(z)=c_0 B_0(z)\\ \bullet\, P_1(z)=c_1 B_1(z)+c_0 B_0(z)\\ \bullet\, P_2(z)=c_2 B_2(z)+(c_2+c_1)B_1(z)+c_0 B_0(z)\\ \bullet\, P_3(z)=...\\ $
Ca devient vite "trucoïde"...

Je ne vois pas en quoi cela va me servir...

Posted by: Holomorph

Ah oui, j'ai oublié de dire que j'écris
$P_q(z)=\sum_{j=0}^{q} \,\,c_j z^j$

Posted by: fahr451

heu

NE PAS DEVELOPPER

la famille est étagée en degré donc libre avec le bon nombre de vecteurs donc base de Cq[X]

k= 4
sigma m(m-1)(m-2)(m-3) z^m ne fait pas tilt ?

Posted by: Holomorph

Tilt, je ne sais pas... mais j'ai l'impression que vous à la première idée que j'ai eu. Pour calculer le cas $q=1$ , j'ai pensé à

$zDz^m=mz^m$

où $D$ représente la dérivée.
Donc, j'ai écrit
$\begin{array}{rcl} \sum_{m=0}^{\infty} P_1(m)z^m&=&\frac{c_0}{1-z}+c_1\sum_{m=0}^{\infty} mz^m\\ &=&\frac{c_0}{1-z}+c_1d\sum_{m=0}^{\infty} Dz^m\\ &=&\frac{c_0}{1-z}+c_1zD\sum_{m=0}^{\infty} z^m\\ &=&\frac{c_0}{1-z}+c_1zD\frac{1}{1-z}\\ &=&\frac{c_0}{1-z}+c_1\frac{z}{(1-z)^2}. \end{array}$

J'ai fait pareil pour les cas $q=2$ et $q=3$ . J'obtiens
$\sum_{m=0}^{\infty} P_2(m)z^m=\frac{c_0}{1-z}+c_1\frac{z}{(1-z)^2}+c_2\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}$
et
$\sum_{m=0}^{\infty} P_3(m)z^m=\frac{c_0}{1-z}+c_1\frac{z}{(1-z)^2}+c_2\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}+c_3\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}$

Est-ce cela à quoi je dois tilter ? J'ai eu bon vérifier mes calculs, c'est là que je bloque. Je ne vois guère de potielle récurrence... A moins d'une erreur monstrueuse de ma part, voilà...

Posted by: fahr451

heu

tu es tétu pas de récurrence nécessaire!

pour P2 ne développe pas ds la base canonique!!

sigma m(m-1) z^m = z^2 sigma m(m-1) z^(m-2) =2 z^2 /(1-z)^3

en dérivant deux fois la série géométrique

Posted by: Holomorph

Il faut le temps, mais je crois avoir saisi le chmilblik.

Une base de $\mathbb{C} _q[z]$ est donnée par $(B_0,...,B_q)$ où on définit $B_k(z)=z(z-1)...(z-k+1)$ . Ainsi, par définition d'une base, on peut écrire le polynôme $P_q$ dans cette base. Il faut donc que je regarde la série non plus avec $P_q(m)$ mais avec les $B_k(m)\, (k\in\{0,...,q\})$ .

De manière plus explicite, j'écris $P_q(z)=\sum_{k=0}^{q} d_k B_k(z)=\sum_{k=0}^{q} d_k z(z-1)...(z-k+1)$ . Alors, il vient
$\begin{array}{rcl} \sum_{m=0}^{\infty} P_q(m)z^m&=&\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{q} d_k B_k(m)z^m\\ &=&\sum_{k=0}^{\q} d_k\sum_{m=0}^{\infty} m(m-1)...(m-k+1)z^m\\ &=&\sum_{k=0}^{\q} d_k z^k\sum_{m=0}^{\infty} D^kz^m\\ &=&\sum_{k=0}^{\q} d_k z^k D^k \frac{1}{1-z}\\ &=&\sum_{k=0}^{\q} d_k \frac{k!z^k}{(1-z)^{k+1}}\\ \end{array}$

Cette fois-ci, j'espère que c'est la bonne. Si c'est correct, je ne vois pas pourquoi le prof nous conseillait de procéder par récurrence (je remets une couche sur ma récurrence...).

Pourrais-je avoir aussi une indication sur la généralisation de ce résultat (c'est le point (3) de l'exercice).

Posted by: fahr451

là c'est correct

c'est la méthode habituelle pour sommer ces séries

la récurrence me dépasse... (enfin j'ai pas cherché)

le point 3 me semble autrement plus compliqué

la généralisation serait ( à mon sens ) pour P(m) = sigma ak m^k une série entière de rayon infini

mais même là la sommabilité de la série double n'est pas garantie même ds le cas où les ak sont des 0(1/k!)
si un jour tu as une correction fais moi signe je suis intéressé

Posted by: Holomorph

En tout cas, je vous remercie pour votre aide et votre patience.

Je ne sais pas encore quand aura lieu la correction des exercices. On doit d'abord avancer dans la matière théorique avant d'avoir les séances de répétition. C'est un peu spécial, le prof nous suggère des exercices pendant le cours théorique et ceux-ci sont à préparer pour une prochaine répétition.

La réponse viendra peut-être d'ici un mois. J'espère que je n'oublierai pas... J'ai en tout cas mis un rappel sur mon brouillon.

Merci.