et je m'intéresse au domaine de définition dans R de la série entière formée par les .
On voit rapidement que le rayon de convergence est 1, ensuite viennent les questions de convergence au bord : en -1 c'est bon, série alternée etc..., mais en 1, comment montrer s'il y a ou non convergence? Je n'ai pas trouvé comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.
Posted by: kazeriahm
a_n tend vers 0 comme tu l'as surement montré.
On peut trouver un équivalent de a_n quand n tend vers l'infini en trouvant un équivalent de
a_n+1^b-a_n^b ou b est un réel à déterminer pour que cet équuivalent soit non nul, puis par sommation des relations de comparaison, on en déduit un équivalent de a_n.
Posted by: Alpha
Oui, j'avais bien sûr montré que a_n tend vers 0, c'était la première chose à faire.
Merci pour ton indication, je vais l'examiner.
Posted by: kazeriahm
ici je trouve que pour b=-1, a_n+1^b-a_n^b équivaut à 1/2 en plus l'infini.
Les deux suites sont positives donc en sommant de k=0 à n-1 il vient 1/a_n équivaut à n/2 donc a_n équivaut à 2/n.
Si je ne me suis pas trompé....
Posted by: Alpha
Ok merci je vais vérifier ça
Posted by: kazeriahm
et de manière plus générale si (u_n) est une suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un), et u_n converge vers l réel, tu peux trouver un équivalent de u_n en t'interessant à
(u_n+1-l)^b-(u_n-l)^b avec b à ajuster encore...
Posted by: yos
Bonjour.
Je trouve que (par récurrence).
J'ai pas vu plus simple.
Posted by: fahr451
bonjour
kazeriahm a tout bien dit , c'est une méthode classique vue souvent comme application de Césaro ("avant" donc les séries équivalentes)
Posted by: Alpha
Oui, j'ai depuis fait les calculs, c'est bien ça, merci bien à kazeriahm.
Je ne connaissais pas cette méthode, mais après coup, elle est très intuitive! (enfin, je connaissais la méthode consistant à trouver un équivalent de a_(n+1) - a_n, mais je n'avais jamais pensé à chercher plus généralement un équivalent de a_(n+1)^b - a_n^b, ce qui est bien mieux puisque ça permet d'ajuster pour virer les termes en a_n)
, et 
,
.
(par récurrence).