Un Sangaku

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Posted by: Zweig

Soit un polygone convexe à ncôtés inscrit dans un cercle. On choisit une triangulation du polygone et on trace les cercles inscrits dans chacun des triangles obtenus. Montrer que la somme des rayons des cercles inscrits est indépendante de la triangulation choisie.

http://img99.imageshack.us/img99/5462/sangakumz4.png



Posted by: lapras

Salut
par triangulation qu'entends tu exactement ?
Les sommets du trangle sont quelconques du moment que les triangles pavent le polygone inscriptible ?


Posted by: Imod

Je pense plutôt que les triangles pavent le polygone et leurs sommets sont des sommets du polygone .

Imod

PS: Il y a sûrement du Carnot là dessous !


Posted by: Zweig

Par triangulation, j'entends que l'on fait apparaître un nombre arbitraire de triangles dans le n-gone ayant pour sommets les sommets du n-gone comme sur l'image. On doit donc montrer que la somme des rayon des cercles inscrits est indépendante du nombre de triangles choisis.

Imod > Carnot permet effectivement de torcher ça


Posted by: lapras

ES ce que Carnot est facilement démontrable ?
Parce que je ne veux pas utiliser un théoreme énorme comme ca qui permet de tout torcher rapidement et que je ne sais pas démontrer.


Posted by: Zweig

Bah sans utiliser Carnot, t'as à intêret à t'accrocher pour résoudre ce problème


Posted by: Zweig

En ce qui concerne le démo du théorème de Carnot (le théorème sur les "distances signées" et non le théorème sur la condition nécessaire et suffisante pour que des points appartiennent à une conique, encore moins le théorème Carnot de en mécanique ... ) n'est pas vraiment très difficile.


Posted by: lapras

Oula il y a l'air d'avoir beaucoup de références a carnot peux tu me donner le bon théoreme ? (va falloir que je me cultive un peu en géométrie moi !)


Posted by: Zweig

Je vais même être sympa, je vais te donner les deux :

* Soient un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O et de rayon R. La somme des distances "signées" du centre O aux côtés du triangle est donnée par la formule :

OO_1 + OO_2 + OO_3 = R + r

avec r le rayon du cercle inscrit au triangle ABC et O_1, O_2, O_3 les projetés orthogonaux de O sur les côtés, respectivement, (BC), (AB) et (AC)

La "distance signée" OO_i est négative si et seulement si le segment [OO_i] est entièrement inclus (à une extrémité près) dans l'extérieur du triangle.

* Étant donnée une courbe algébrique quelconque de degré n qui coupe un triangle ABC, soit A_1 (resp. B_1 et C_1) le produit des n distances, réelles ou imaginaires, de A (resp. B et C) aux n points d'intersection de la courbe avec le côté AB (resp. BC et CA), et soient de même A_2, B_2 et C_2 les produits semblables associés aux côtés AC, BA et CB, alors :

A_1\cdot B_1\cdot C_1 = A_2\cdot B_2\cdot C_2



Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Zweig
Par triangulation, j'entends que l'on fait apparaître un nombre arbitraire de triangles dans le n-gone ayant pour sommets les sommets du n-gone comme sur l'image. On doit donc montrer que la somme des rayon des cercles inscrits est indépendante du nombre de triangles choisis.

Imod > Carnot permet effectivement de torcher ça


Zweig,
Pour un n gone, n'es tu pas obligé de tracer n-2 diagonales avec donc n-1 triangles?


Posted by: Zweig

On est pas obligé de tracer tous les triangles possibles puisqu'on doit montrer que la somme ne dépend pas du nombre de ces triangles choisi.


Posted by: Zweig

En faisant des recherches, je viens de trouver une version encore plus générale du deuxième théorème de Carnot : http://mathworld.wolfram.com/CarnotsPolygonTheorem.html


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Zweig
En faisant des recherches, je viens de trouver une version encore plus générale du deuxième théorème de Carnot : http://mathworld.wolfram.com/CarnotsPolygonTheorem.html


En fait, j'aurais dû dire n-3 diagonales et donc n-2 triangles.
Zweig, quelque chose m'échappe, si tu ôtes une diagonale, tu vas te retrouver avec un quadrilatère, non?


Posted by: Zweig

Je ne comprends pas où tu bloques nodgim ...


Posted by: ffpower

Je suis dac avec nodgim,ya forcement n-2 triangles,sinon c sur que c faux


Posted by: Zweig

Ah d'accord, tu parlais du nombre minimum de triangles, je n'avais pas compris. Oui bien sûr, il en faut au moins n - 2 sinon ça n'a pas de sens.


Posted by: ffpower

Je dirai meme plus:exactement n-2^^.Sinon une fois qu on a le thm de machin chose c facile,mais sans le connaitre par contre...(ce qui etait mon cas)


Posted by: Zweig

Bah, en connaissant le théorème de Carnot ce n'est pas non plus très direct Par contre oui, ce qui serait intéressant, c'est de faire le problème sans ce théorème, ce qui rendrait la tâche beaucoup plus ardue ^^










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