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Vieux 12/10/2006, 21h31
mejdane
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Unhappy reste d'une division euclidienne

c'est mon premier ex en arithmétique!
je suis bloqué,alors je demande de l'aide svp.
l'énoncé:déterminer le reste de la division euclidenne :
*de 19^52+23^41 par 7
*de (5^2n)+(5^n)+1 par 31

j'ai eu une idée que j'en suis pas sur:
c'est de mettre les termes de la somme en congurence avec a mod[7] puis il suffit de faire l'addition avec une condition qui conciste à que l'entier r qu'on trouve (tq Somme=c[7])soit<=7

est c'est une méthode juste et comment aboutir à la fin?sinon quelle est alors?
Merci pour votre aide!


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Vieux 12/10/2006, 21h52
BancH
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Je te fais le premier:

19\equiv 5[7]
19^2\equiv 95[7]\equiv 4[7]
19^3\equiv 76[7]\equiv 6[7]
19^4\equiv 114[7] \equiv 2[7]
19^5\equiv 38[7]\equiv 3[7]
19^6\equiv 57[7]\equiv 1[7]
19^7\equiv 19[7]\equiv 5[7]

52\equiv 4[6] or si n\equiv 4[6] alors 19^n\equiv 2[7]


23\equiv 2[7]
23^2\equiv 46[7]\equiv 4[7]
23^3\equiv 92[7]\equiv 1[7]
23^4\equiv 23[7]\equiv 2[7]

41\equiv 2[3] or si n\equiv 2[3] alors 23^n\equiv 4[7]

19^{52}+23^{41}\equiv 2+4[7]\equiv 6[7]
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Vieux 12/10/2006, 22h27
mejdane
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quelle la cond pour avoir a[7]=b[7]
NB:19=12[7]
merci pour ton aide Banch
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Vieux 12/10/2006, 22h33
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Citation:
Posté par mejdane
quelle la cond pour avoir a[7]=b[7]
a[7]\equiv b[7] si a=7k+b

19\equiv 12[7]
12\equiv 5[7]
\Longrightarrow 19\equiv 5[7]
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Vieux 12/10/2006, 22h36
mejdane
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or 7 ne divise pas (19-5)=12 qui est la définition de la congurence!
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Vieux 12/10/2006, 22h40
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Exactement, 7 ne divise pas 12, mais en revanche il divise (19-5) ;)
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Vieux 12/10/2006, 22h46
mejdane
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Citation:
Posté par BancH
Exactement, 7 ne divise pas 12, mais en revanche il divise (19-5) ;)

je vais l'ajouter dans la liste de mes connaissances !
merci bien Banch
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Vieux 12/10/2006, 22h46
Flodelarab
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Citation:
(19-5)=12

ya pas un probleme la ?
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Vieux 12/10/2006, 22h47
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T'as tout compris ?
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Vieux 12/10/2006, 22h48
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Oui flodelarab, c'est ce que je lui avais fait remarquer.
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Vieux 12/10/2006, 23h20
mejdane
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Citation:
Posté par BancH
T'as tout compris ?

oui j'ai compris(c'est la transitivité de la congurence!)
mais ce qui reste c'est ça
" si n=4[6] alors 19^n= 2[7]"
est c'est de cours (propriété)?
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Vieux 12/10/2006, 23h22
BancH
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De ça:
Citation:
Posté par BancH
19\equiv 5[7]
19^2\equiv 95[7]\equiv 4[7]
19^3\equiv 76[7]\equiv 6[7]
19^4\equiv 114[7] \equiv 2[7]
19^5\equiv 38[7]\equiv 3[7]
19^6\equiv 57[7]\equiv 1[7]
19^7\equiv 19[7]\equiv 5[7]
On déduit ça:

19^n\equiv2[7] avec n\equiv 4[6]
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