Mathématiques - Résoudre un sytème au moindres carrés ...

Résoudre un sytème au moindres carrés ...
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Posted by: totor

Bonjour,

J'ai une question sur la résolution d'un système au sens des moindres carrés. D'abord, ce que je comprend c'est que quand on résoud un système au sens des moindres carrés c'est que la solution n'existe pas, on essaye d'en trouver une qui sois "au mieux", c'est à dire $\min_w || Aw - g||^2$ . En général on résoud un système qui a plus d'équation que d'inconnues, par exemple ( en deux dimensions) :
$ \begin{array}{cc} au(x,y) + bv(x,y) &=& g_1 \\ cu(x,y) + dv(x,y) &=& g_2 \end{array} $
ou a,b,c,d sont des paramètres connus, $g = [g_1,g_2]^T$ est le vecteur connu et $w = [u(x,y), v(x,y)]^T$ sont le vecteur solution inconnu que l'on cherche à déterminer. En fait, ca donne sous forme matricielle :
$ Aw = g $
avec
$ A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} $
et la solution se trouve avec les equations normales :
$ w = inv(A^TA)A^Tg $

Bref, ma question c'est comment on fait quand on cherche à minimiser un truc avec des dérivées ...?..???? par exemple si on a le système avec des dérivées de la solution :
$ \begin{array}{cc} au(x,y) + bv(x,y) + \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} &=& g_1 \\ cu(x,y) + dv(x,y) + \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} &=& g_2 \end{array} $

Quelle technique utiliser ??? Sauriez vous comment faire à ce moment là..?

merci beaucoup par avance!!

(ps : je suis nul en maths! mais ne le dites à personne :p)

Posted by: totor

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