Résoudre une équation différentielle

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Posted by: mat087

J'ai un exercice à faire, on peut y lire :

Résolver l'équation différentielle suivante en tenant compte de la condition initiale indiquée.


1. \frac{dy}{dx}=e^{-x-y-2} (Condition : y(0) = -2 )

2. dy=e^{-x-2} *e^{-y} *dx

3. \int \frac{dy}{e^{-y} }=\int e^{-x-2} *dx

4. [-e^{-y} =-e^{-x-2} +C_{1} ] (Mis entre crochets à des fins d'affichage).

5. [-e^{-y} =-e^{-x} *e^{-2} +C_{1} ]

6. [-e^{-y} =-e^{-x} +C_{1}]

7. y=-\ln \left( e^{-x} +C \right) (Solution générale)


Je dois trouver la primitive qui satisfait à y(0) = -2

8. C=e^{2}

9. y=-\ln \left( e^{-x} +e^{2} \right) (Solution spécifique)


Cependant le point y(0) = -2.127...

De plus, la réponse founie par l'enseignante est : y=-\ln \left( e^{-x-2} + e \right) Ce qui ne satisfait pas du tout à la condition initiale.

Par contre, problème peut-être dû à une mauvaise photocopie, si on met "e" exposant 2. On arrive à une réponse assez proche.

Ce qui ferais y=-\ln \left( e^{-x-2} + e^{2} \right)


Pourquoi est-ce donc e^{-x-2} et non e^{-x} ?

Merci,
Mathieu


Posted by: jose_latino

y=-\ln \left( e^{-x} +C \right)
Tu as mal fait ce pas.
{}-2=y(0)=-\ln \left(1 +C \right)
{}e^{2}=1 +C continue...


Posted by: jose_latino

Citation:
Posté par mat087
J'ai un exercice à faire, on peut y lire :
Résolver l'équation différentielle suivante en tenant compte de la condition initiale indiquée.


1. \frac{dy}{dx}=e^{-x-y-2} (Condition : y(0) = -2 )

2. dy=e^{-x-2} *e^{-y} *dx

3. \int \frac{dy}{e^{-y} }=\int e^{-x-2} *dx

(ici aussi)
4'. \int e^ydy=\int e^{-x-2} dx

5'. e^y=-e^{-x-2}+C

Essaie de réviser les pas suivants aussi.
Bon courage!


Posted by: mat087

Tu as raison!

Ce qui fait que C=2e^{-2} et donc y=\ln \left( -e^{-x-2}+2e^{-2} \right)

Ce qui est confirmé par le solutionnaire détaillé. (Je je comprends toujours pas la réponse donnée par mon enseignante...).

Merci!

Mathieu










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