Résolution d'une équation du cinquième degré

par **Bakerstreet** » 20 Oct 2010, 17:21

Bonsoir

après avoir trouvé la dérivé de f(x)= (X^2-4)^3, ce qui me donne f'(X)= X^5+5X^4+13X^3+65X^2+373X+1865

Elle est belle hein? J'en suis très fier.

Problème, je dois faire un tableau de variations (entre autres). Mes compétences en matière de résolution d'équation du cinquième degré se résume au néant, j'ai sérieusement besoin d'aide. Je vous remercie d'avance pour votre aide.

par **Finrod** » 20 Oct 2010, 17:26

Fallait pas développer la dérivée.

D'ailleurs t'as surement fait des erreurs de calcul.

par **Bakerstreet** » 20 Oct 2010, 17:54

oula!

je suis allé beaucoup trop vite dans la description de mon problème, veuillez m'excuser.
Je reprends: je devais trouver la dérivée de f(x) grâce à une méthode qui exigeait de développer f(x). Pour ce qui est de la dérivée proprement dite, je suis assez sûr de moi; les chiffres concordent, mais je ne suis pas à l'abri d'une erreur (ça se saurait). Donc, comment est-il possible de trouver les zéros de la dérivée (autrement dit les PTH)

par **annick** » 20 Oct 2010, 19:14

Bonsoir,
on ne comprends pas, c'est f(x) ou f'(x) que tu dois dériver ?
Sinon, je suis d'accord avec Finrod, si tu ne développes pas, tu as un produit de facteurs et l'affaire est dans le sac!

Petite remarque en passant, comme dans ta dérivée tu as 3x en facteur, on ne voit pas comment tu peux avoir un terme sans x à la fin de ton développement!

par **Dinozzo13** » 20 Oct 2010, 19:19

Salut !

Il me semble qu'on peut dire qu'ici

a le même signe que

.

par **Black Jack** » 20 Oct 2010, 19:25

Bakerstreet a écrit:oula!

je suis allé beaucoup trop vite dans la description de mon problème, veuillez m'excuser.
Je reprends: je devais trouver la dérivée de f(x) grâce à une méthode qui exigeait de développer f(x). Pour ce qui est de la dérivée proprement dite, je suis assez sûr de moi; les chiffres concordent, mais je ne suis pas à l'abri d'une erreur (ça se saurait). Donc, comment est-il possible de trouver les zéros de la dérivée (autrement dit les PTH)

Si tu dois absolument passer par le développement de f(x) avant d'en faire la dérivée, fais-le...
Mais tu as intérêt à tout refaire car ta dérivée est complètement fausse.

:zen:

par **Bakerstreet** » 20 Oct 2010, 21:34

Je reprends depuis le début:

j'ai un exercice dans lequel je dois trouver la dérivée de (X^2-4)^3 grâce à ce qu'en Suisse (je ne sais pas en France) on appelle la méthode en 4 étapes: \frac{f(X)-f(X_0}{X-X_0}, ce qui me donne une division polynomiale résolue grâce au schéma de Horner.

Tout ce que je demande, et ce peut importe si ma dérivée est juste ou fausse, c'est de trouver les PTH (et donc les 0 de f'(X)) à partir de cette saleté de formule: X^5+5X^4+13X^3+65X^2+373X+1865.

Voila...

sinon, je demanderai à mon prof plus de précisions et je vous tiendrai au courant

par **Sylviel** » 20 Oct 2010, 21:59

Et bien la seule solution consiste à voir des racines évidentes (par exemple en utilisant l'autre forme).
Quant à trouver une manière générale de résoudre des polynomes du 5ème degré... ce n'est pas possible ! (démontré par 1bel et Galois après 2 siècle de recherche sur le sujet...)

par **muse** » 21 Oct 2010, 10:18

Comme l'a dit finrod ta dérivé est fausse. Dans ce cas trouver trouver Finrod x=0 est solution de f'(x)=0 mais pas dans ta dérivé.

Une fois que tu aura correctement calculer ta dérivé tu pourrai facilement mettre x en facteur ce qui sera un bon début.

par **Black Jack** » 21 Oct 2010, 14:25

Bakerstreet a écrit:Je reprends depuis le début:

j'ai un exercice dans lequel je dois trouver la dérivée de (X^2-4)^3 grâce à ce qu'en Suisse (je ne sais pas en France) on appelle la méthode en 4 étapes: \frac{f(X)-f(X_0}{X-X_0}, ce qui me donne une division polynomiale résolue grâce au schéma de Horner.

Tout ce que je demande, et ce peut importe si ma dérivée est juste ou fausse, c'est de trouver les PTH (et donc les 0 de f'(X)) à partir de cette saleté de formule: X^5+5X^4+13X^3+65X^2+373X+1865.

Voila...

sinon, je demanderai à mon prof plus de précisions et je vous tiendrai au courant

Quelle que soit la méthode, la réponse finale doit être la même...
A condition de ne pas se planter dans les calculs.

f(x) = x^6 - 12x^4 + 48x² - 64

f(x) - f(xo) = x^6 - xo^6 - 12x^4 + 12xo^4 + 48x² - 48xo² - 64 + 64
f(x) - f(xo) = x^6 - xo^6 - 12(x^4 -xo^4) + 48(x² - xo²)
f(x) - f(xo) = (x³- xo³).(x³ + xo³) - 12(x² -xo²)(x² + xo²) + 48(x² - xo²)
f(x) - f(xo) = (x- xo).(x²+xo.x+xo²).(x³ + xo³) - 12(x²+xo²)(x + xo)(x-xo) + 48(x - xo)(x + xo)

lim(x --> xo) [(f(x) - f(xo))/(x-xo)] = lim(x --> xo) [(x²+xo.x+xo²).(x³ + xo³) - 12(x²+xo²)(x + xo) + 48(x + xo)]
lim(x --> xo) [(f(x) - f(xo))/(x-xo)] = 3xo²*2xo³ - 12*2xo²*2xo + 48*2xo
lim(x --> xo) [(f(x) - f(xo))/(x-xo)] = 6xo^5 - 48xo³ + 96.xo

Et donc f '(x) = 6x^5 - 48x³ + 96.x

f '(x) = 6x.(x^4 - 8x² + 16)
f '(x) = 6x.(x² - 4)²

Et on retombe (heureusement) sur ce qui a été trouvé par Finrod et les zéros de f '(x) sont alors évidents.

Essaie de comprendre et de refaire l'exercice seul.

:zen:

par **Bakerstreet** » 21 Oct 2010, 20:55

En effet, après avoir demandé des précision à ma prof de math, elle m'a fait comprendre que je m'étais trompé. Pour ma défense, c'est elle qui m'a indiqué la mauvaise marche à suivre.

Bref, je suis bien arrivé au résultat que vous m'indiquez tous, j'ai compris pourquoi et suis sûr de pouvoir le refaire (ce qui est, je crois, la véritable utilité d'un exercice). Cependant, je dois également trouver la dérivée seconde de f(X) à partir de 6X(X^2-4)^2. J'ai trouvé un résultat en développant l'équation, mais je n'arrive pas à trouver les zéros par la suite. Je pense (et suis même certain) qu'il est possible de les trouver sans développer f'(X), mais je ne suis pas sûr du résultat que j'obtiens: 12x^2-4. En fait, je suis sûr qu'il est faux.

Pouvez vous encore m'aider en me montrant la voie?

En merci infiniment pour le temps que vous avez consacré à me répondre.

par **Sa Majesté** » 21 Oct 2010, 21:09

Salut
J'ai survolé la discussion donc désolé si ma réponse tombe à plat
Le plus simple c'est de dériver x(x²-4)² [je laisse tomber le 6] comme un produit

par **Bakerstreet** » 21 Oct 2010, 21:22

Salut,

décliner 6x(X^2-4)^2 comme un produit? C'est-à-dire faire 6x((x^2-4)(x^2-4))? J'obtiens 24 x^2... ce serait juste ou je me plante, ça me semble plus que suspect....

par **Sa Majesté** » 21 Oct 2010, 21:23

Non
Je voulais dire dériver x(x²-4)² comme un produit c'est-à-dire (uv)'=u'v+uv' avec u(x)=x et v(x)=(x²-4)²

par **Bakerstreet** » 21 Oct 2010, 21:35

oui mais pour trouver v'(x) il faut tout de meme faire la dérivée de (x^2-4)^2 non? Et c'est justement ça que je n'arrive pas à faire....

par **Sa Majesté** » 21 Oct 2010, 21:37

v(x)=(x²-4)² est du type w^n avec w(x)=x²-4 et n=2
donc v' = nw'w^(n-1)

par **Bakerstreet** » 21 Oct 2010, 21:56

C'est pas gagné...

(uv)'= u'v+uv'
u=6x
v=(x^2-4)^2
u'=6
v'= 4x^3-16x

on en arrive donc à (uv)'= 6(x^2-4)^2 +6x(4x^3-16x)

jusque là...

au final, on en arrive donc à (uv)'= 30x^4-96x^2-48x+96
mais là, à nouveau, pour trouver les zéros, ça va pas etre facile du tout... Y'a un moyen pour y arriver?

par **Sa Majesté** » 21 Oct 2010, 21:59

Mais pourquoi diable t'entêtes-tu toujours à tout développer ??
v=(x²-4)^2
v'=2*(2x)(x²-4)=4x(x²-4)

par **Bakerstreet** » 21 Oct 2010, 22:17

merci, mais j'en arrive quand meme à 6(x^2-4)^2+24x^2(x^2-4). Le premier zéro est évident: X=0, mais pour le reste, et je crois pourtant ne pas avoir développé plus que ça... Je crois vraiment que je m'enfonce à vitesse grand v...

par **Black Jack** » 22 Oct 2010, 10:29

Bakerstreet a écrit:merci, mais j'en arrive quand meme à 6(x^2-4)^2+24x^2(x^2-4). Le premier zéro est évident: X=0, mais pour le reste, et je crois pourtant ne pas avoir développé plus que ça... Je crois vraiment que je m'enfonce à vitesse grand v...

Certes non que X = 0 n'est pas un zéro de f ''(x)

Tu trouves: f ''(x) = 6(x^2-4)^2+24x^2(x^2-4)

mettre 6(x²-4) en évidence ---->

f ''(x) = 6.(x²-4).(x² - 4 + 4x²)

f ''(x) = 6.(x²-4).(5x² - 4)

Il y a donc 4 zéros faciles à trouver ...

:zen:

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