Mathématiques - Réseau routier

Réseau routier
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Posted by: pianozik

Voilà le dessin:
http://img359.imageshack.us/img359/7158/maths7ws.png
J'aimerais être sûr de la méthode que j'ai suivis pour répondre à la question. pendant que je cherche des olympiades d'entrainement j'ai rencontré ça. Alors les données:
On a 4 maisons situées sur le^s 4 côtés d'un carré, on peut construire un réseau routier qui lie les 4 maisons pourvu qu'il soit le plus court possible sachant qu'on veut avoir un rond-point au milieu.
Ma réponse:
j'ai posé http://www.maths-forum.com/images/l...512481c6775.gif http://www.maths-forum.com/images/l...1c1fda168b7.gif http://www.maths-forum.com/images/l...0fdbc49fc10.gif http://www.maths-forum.com/images/l...814e549d78d.gif
Pour que le réseau soit le minimum possible, il faut que http://www.maths-forum.com/images/l...18bc52c4c0a.gif la sois. Puisque les distances sont positifs, alors, http://www.maths-forum.com/images/l...4afaedc4bf0.gif doit être la minimale possible, et http://www.maths-forum.com/images/l...13f0ed5f7ba.gif, Pour cela, http://www.maths-forum.com/images/l...ecc49d58680.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif ,et http://www.maths-forum.com/images/l...17c16b2ba15.gif doivent être alignés, et http://www.maths-forum.com/images/l...292b990712f.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif , et http://www.maths-forum.com/images/l...93eb52d49a9.gif doivent aussi être aligné, et par conséquent http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif est le point d'intersection des diagonales.
Est-il juste mon raisonnement ?
Merci en avance !

*Edit d'Igor: balise image, ça va plus vite*

Posted by: phenomene

Citation:

Posté par pianozik

Est-il juste mon raisonnement ?

Non, ou du moins c'est incomplet, car on n'a pas signalé que $x_1+x_3$ et $x_2+x_4$ atteignaient leur minimum simultanément. C'est ça l'argument essentiel (et non la positivité des distances qui ne joue aucun rôle ici, d'ailleurs, le point qui minimise $x_1+x_2+x_3+x_4$ minimise aussi $x_1+x_2+x_3+x_4-10^{{10}^{100}}$ qui n'est pas forcément positif).

Dans le même genre, on pourrait dire que $x_1+x_2$ est minimum lorsque $O$ est sur le segment $[M_1M_2]$ , donc $O$ est sur le segment $[M_1M_2]$ . De même, $x_3+x_4$ est minimum lorsque $O$ est sur le segment $[M_3M_4]$ , donc $O$ est sur le segment $[M_3M_4]$ . C'est bien entendu absurde, ces deux conditions ne pouvant être réalisées simultanément.

Posted by: pianozik

Citation:

Posté par phenomene

La méthode que j'ai utilisé me parait logique, si on traite $x_{1}+x{3}$ , on doit forcément avoir $O$ du seguement $[M_{1};M{3}]$ , cependant, $x_{1}+x_{2}$ est minimale si le triangle $M_{1}OM_{2}$ est isocèle.
Ce que je veux vous dire que pour chaque méthode on a un certain nombre de propriétés. Peut être cet example que je vais vous donner est juste. Si vous voulez partir d'un point A vers C en passant par B, étant le somet d'un triangle quelconque, d'une vitesse v, alors ça a duré t par contre, c'est loin que pour aller de A vers C de la même vitesse v le temps sera le même t.

Posted by: phenomene

Citation:

Posté par pianozik

Non, je maintiens que $x_1+x_2$ est minimale pour $O$ situé sur le segment $[M_1M_2]$ . Si $O$ n'est pas situé sur ce segment, on a $x_1+x_2=OM_1+OM_2>M_1M_2$ , c'est l'inégalité triangulaire.
De toute façon, je ne vois pas pourquoi l'on n'aurait pas la même propriété en changeant seulement les numéros des indices !
Le problème est que pour $O$ situé sur le segment $[M_1M_2]$ , la quantité $x_3+x_4$ devient trop grande, mais c'est une autre histoire...

Pour formaliser un peu plus le problème, on a une fonction $f$ exprimant la somme $x_1+x_2+x_3+x_4$ en fonction du point $O$ situé dans le carré. On a $f=g+h$ avec $g$ fonction exprimant la somme $x_1+x_3$ et $h$ exprimant la somme $x_2+x_4$ .
Supposons que $g$ atteigne son minimum en un point $O_1$ et que $h$ atteigne son minimum en un point $O_2$ . Eh bien, on ne peut rien en déduire sur le minimum de $f$ en général ! Par contre, si de plus on a $O_1=O_2$ , ce point commun en lequel sont atteints les minima de $g$ et $h$ est également celui en lequel est atteint le minimum de $f$ .
C'est pour cela que le raisonnement astucieux consistant à découper $x_1+x_2+x_3+x_4$ en $x_1+x_3$ et $x_2+x_4$ marche, alors qu'un découpage en $x_1+x_2$ et $x_3+x_4$ ne permettrait d'obtenir aucune conclusion !

Posted by: pianozik

je sais très bien que ça se fait par la relation triangulaire, mais je pense pas que la méthode que j'ai faite est fausse !!!

Posted by: phenomene

Et pourtant, elle est incorrecte, comme je te l'ai expliqué par deux fois... Bien sûr, tu as eu l'idée astucieuse qui consiste à séparer $x_1+x_2+x_3+x_4$ en deux sommes $x_1+x_3$ et $x_2+x_4$ , mais ta rédaction de la preuve est incorrecte. Je pense qu'il est inutile que j'explique pourquoi une troisième fois !

Voici un exemple de rédaction correcte.

La quantité $x_1+x_3$ atteint son minimum en n'importe quel point du segment $[M_1M_3]$ (attention, on ne peut pas affirmer à ce stade que le point $O$ minimisant $x_1+x_2+x_3+x_4$ est situé sur ce segment, c'est là l'erreur que tu commets). De même, la quantité $x_2+x_4$ atteint son minimum en n'importe quel point du segment $[M_2M_4]$ . Or, ces deux segments se coupent en un unique point, l'intersection des diagonales du carré. Ce point minimise ainsi à la fois les quantités $x_1+x_3$ et $x_2+x_4$ , il minimise donc leur somme $x_1+x_2+x_3+x_4$ . Ainsi, le point $O$ recherché est le centre du carré (intersection de ses diagonales).

Ce sera mon dernier mot !

Posted by: pianozik

Le point $O$ représente le rond point, c'est pour cette raison que j'ai gardé qu'un seul O et non pas plusieurs, j'ai brulé des étapes que je savais, voilà, moi je croyais que ça serait clair la raison pour laquelle j'ai demandé la confirmation de l'idée et sur ma feuille de brouillon tout est clair. De plus, j'avoue que je devais tout mettre, voilà. Juste le faite de dire que les points http://www.maths-forum.com/images/l...ecc49d58680.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif ,et http://www.maths-forum.com/images/l...17c16b2ba15.gif doivent être alignés et http://www.maths-forum.com/images/l...292b990712f.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif , et http://www.maths-forum.com/images/l...93eb52d49a9.gif doivent l'être aussi refléte mon intention, car dans ce cas O n'est pas forcément au milieu, et la même chose pour la deuxième suggestion, donc pour la réalisation, $O$ devient le centre du carré

Posted by: phenomene

Citation:

Posté par pianozik

Le point $O$ représente le rond point

J'ai bien compris, il le représente aussi dans mes messages.

Citation:

Posté par pianozik

c'est pour cette raison que j'ai gardé qu'un seul O et non pas plusieurs, j'ai brulé des étapes que je savais, voilà, moi je croyais que ça serait clair la raison pour laquelle j'ai demandé la confirmation de l'idée et sur ma feuille de brouillon tout est clair.

Dans ton message ici, tu n'as pas brûlé d'étape mais annoncé quelque chose de faux ( $M_1$ , $O$ et $M_3$ doivent être alignés), en invoquant un argument faux (la positivité d'une distance).
Alors, manifestement, meme si tu as eu l'idée essentielle, cela n'était pas du tout clair pour toi. Les mathématiques, c'est une histoire de rigueur et de précision ! Même si l'intuition est importante bien sûr.

Citation:

Posté par pianozik

De plus, j'avoue que je devais tout mettre, voilà. Juste le faite de dire que les points http://www.maths-forum.com/images/l...ecc49d58680.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif ,et http://www.maths-forum.com/images/l...17c16b2ba15.gif doivent être alignés et http://www.maths-forum.com/images/l...292b990712f.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...d906208506e.gif , et http://www.maths-forum.com/images/l...93eb52d49a9.gif doivent l'être aussi refléte mon intention

C'est ce qui est faux (ça ne fera que la troisième fois que je le dis). Ce n'est pas parce qu'une fonction $f=g+h$ atteint son minimum en $x$ que les fonctions $g$ et $h$ doivent atteindre leur minimum en $x$ également. Peut-être l'exemple des fonctions numériques $g:x\mapsto (x-1)^2$ et $h:x\mapsto (x+1)^2$ te permettra de comprendre le problème ?

Encore une fois, je peux reprendre ton raisonnement en intervertissant les indices $2$ et $3$ , ce qui ne change rien à ton argument, et j'en conclus que le rond-point $O$ est nécessairement situé sur le segment $[M_1M_2]$ et sur le segment $[M_3M_4]$ . Comme ces segments ne se coupent pas, c'est absurde, et ça prouve que ta démonstration est erronée.

Savoir reconnaître ses erreurs, c'est l'attitude de base d'un bon scientifique... (et si j'en ai fait dans mes messages, qu'on me les indique et je les reconnaîtrai volontiers, mais pour le moment, je n'ai lu que des "non j'ai raison" sans argumentation, ou alors une affirmation fausse sur la minimisation de la distance $M_1M_2$ invoquant un triangle isocèle; pour contrer mon affirmation juste selon laquelle un point minimisant la somme de ses distances à $M_1$ et $M_2$ est situé sur le segment $[M_1M_2]$ ). Dans ces conditions, je ne peux continuer la discussion...