Rendre une matrice triangulaire (valeurs propres)

[Florix]

Bonjour,

Je suis depuis 40 min sur la matrice suivante :

( 0 a a^2 ) L1
( (1/a) 0 a ) L2
( (1/a^2) (1/a) 0 ) L3

Je voudrais la rendre triangulaire inférieure afin de trouver les valeurs propres T mais impossible, j'ai réussi à faire apparaitre les 2 zeros mais impossible de faire apparaitre le 3ème :


( (1/a) -T a )
( 0 (1/a)-T^2 (a-a^2) )
( 0 a+(aT)(-T) a^2+a^2T )

Si qqn a une solution !

Merci d'avance

Florix

[abel]

Je te conseille plutot de trouver les vp pr ensuite trigonaliser ta matrice. Pr trouver les vp calcule le polynome caracteristique et trouve ses racines afin de voir combien il y en a. Apres il faut regarder la dimension de tes sous espaces propres pr voir comment tu vas la trigonaliser.

[Florix]

Ah ouais mais en fait la question c'est "En rendant la matrice triangulaire, déterminer les valeurs vp"

En fait je voudrais juste si qqn arrive à faire les calculs qu'il me dise :

1ère étape : (je mets n'importe quels calculs)

L1 <- L2 + L3
L2 <- aL3 - L1
....

2ème étape
....

PArce que là j'en peux plus de cette matrice, ça fait depuis une heure au moins que je suis dessus et impossible de la rendre triangulaire !

[abel]

On te demande de faire un pivot de gauss en fait...Ben il faut appliquer la méthode c'est tout, ca amene inevitablement à une matrice triangulaire. Par contre je vois pas comment on en déduit les vp...car les 2 matrices ne sont pas semblables....enfin y a ptetr une astuce...

le pivot :

C3 <-> C1
C2 <- C2 - C3
C1 <- C1+ a*C2

normalement c'est bon.

[Florix]

C'est pas bon hélas car en faisant tes calculs la matrice n'est pas triangulaire !

Mais merci quand même pour tes réponses c'était sympa ! Hélas cette question est nécessaire pour toutes les autres de l'exercice, aujourd'hui est le deuxième jour où j'essaie de la trigonaliser, et j'avoue que j'en ai plus qu'assez !!!!!!!! :mur:

Impossible d'aligner un troisième zero sur la troisième ligne !!!!!!!!!!!!!!

Si qqn a envie de s'y coller !

En tout cas merci pour les réponses

Florix

[Florix]

Et voilà ! J'ai enfin réussi à rendre cette foutue matrice triangulaire, et je trouve donc la valeur propre : T = -1

Mais voilà, le corrigé marque deux valeurs propres : T = -1 et T = 2

J'aurais donc passé si on cumule les heures au moins 3 heures sur cette matrice, à vérifier mes calculs, interchanger les lignes, les colonnes et tout ce qui va avec pour trouver un résultat FAUX !!!!!!!!!!!

Juste une question : y'a t'il une méthode infaillibe pour rendre une matrice triangulaire le plus vite possible ??? C'est à dire je sais pas, toujours inverser telle ou telle ligne, colonne.... Parce que j'ai un DS de 4 heures samedi prochain et je n'aurais pas le temps de passer 3 h/4 à rendre une matrice triangulaire pour trouver les valeurs propres !!!

Donc si qqn a réponse à cette question ça m'interesse (et si par hasard qqn s'interesse à ma matrice et a réussi à trouver à la fois -1 et 2 ça m'interesse aussi !)

[nameless]

voici en gros :
(pour une matrice 3x3)
soit A une matrice
trouver les 3 valeurs propres, en déduire les 3 vecteurs propres
les 3 vecteurs propres te donnent la matrice P de transition tel que
P^-1 A P = B
B sera triangulaire avec les valeurs propres sur la diagonale.


les difficultés se situent pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres.
pour trouver les valeurs propres il suffit de calculer le determinant de la matrice A - ;)
exemple si
. . . . .( 1 1 0 ). . . . . . . . . .( 1-;) 1 0 )
A =. . ( 0 2 1 ). . . A - ;) =. .( 0 2-;) 1 )
. . . . .( 3 1 1 ). . . . . . . . . .( 3 1 1-;) )
donc tu calcul le determinant de cette matrice et tu trouve une equation fonction de ;) = 0.
les solutions de cette equation sont tes valeurs propres.
pour chaque valeur propre il te faudra calculer les vecteurs propres.
la dimension de ton vecteur propre sera la même que la multiplicité de ta racine
exemple (pas de rapport avec la matrice precedente) :
si tu as 2 valeur propre exemple (;)-1)^2.(;)-2)=0, tu as 2 racine, ;)=1 de multiplicité 2 et ;)=2 de multiplicité 1.
tu auras donc 2 valeurs propres , 1 et 2 et le vecteur propre associé a 1 sera de dimension 2 et celui associé a 2 sera de dimension 1.

pour calculer le vecteur propre tu vas trouver une base de la matrice
A-;) en remplacant ;) par ta valeur propre.
comme dit precedement ta base doit être de même dimension que ta racine, si tu trouves une base de dimension inferieur alors recommence avec
(A-;))^2
et ainsi de suite pour toutes tes valeurs propres.

une fois que tu as tous tes vecteurs propres, met les en colonne et ca te donne P
exemple pour ;) = 1 je trouve le vecteur propre ((1,2,0),(1,1,1)) (car 1 était par exemple de multiplicité 2)
et pour ;) = 2 le vecteur propre (1,0,0)
alors ma matrice P de passage sera :
. . . (1 1 1)
P = (2 1 0)
. . . (0 1 0)
si tu as bien fait tes calculs, alors la matrice B = P^-1 A P sera triangulaire supérieur avec les valeurs propres sur la diagonale.

note : il n'est pas impossible que les valeurs propres soient complexe en ce cas tu auras 2 valeurs propres complexes conjugués et une réel.

je ne sais pas si j'aurai été très clair mais je ne saurai que trop te conseiller de revoir tes cours et les exemples.
ce cour est du programme de 2° année.

bonne chance.

[abel]

J'avais mal recopié ta matrice :
en fait il fallait faire :
C1<->C3
C2<-C2- a*C3
C1<-C1 + a*C2

On obtient une matrice triangulaire sup.