Relations, projections et graphes

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Posted by: bug

Bonjour, j'ai fait un exercice mais je ne suis pas completement sûr de ma solution. Est-ce quelqu'un pourrait m'aider? Merci.

Voilà l'exercice:
Soit R une relation sur un ensemble A , de graphe G . On a G \subset AxA

Soir p_1 la première projection de AxA sur G et p_2 la seconde projection de AxA sur G . Soit p_1' la restriction de la première projection etp_2' la restriction de la seconde projection à G . On a p_1(a,a'):=a et p_2(a,a'):=a'

Quelle propriété sur l'image dep_1' etp_2' correspond à la reflexivité de R , l'antisymetrie deR et la transitivité de R ?

1) pour la reflexivité:
Nous avons G_R=(a,a'); aRa' . la reflexivité est définie par \forall a\in A on a aRa . Donc ce la veut dire que la diagonaleD est dans le grapheG_R , donc que (a,a)\in G_R.

Ainsi on a (avec la diagonale) D \in \mathfrak{P}_{p_1^-1}'(A) et D \in \mathfrak{P}_{p_2^-1}'(A) ainsi p_{2'} est une bijection de D sur A

Pour l'antisymetrie : on a (a,a') \in G et (a',a)\in G => a=a', ainsi nous avons G_R \cap G_R^{-1} \subset D donc l'image réciproque de p1 inter l'image reciproque de p2 sont dans la diagonale (comment ecrit-on cela en latex?)

Pour la transitivité nous avons (a,a') \in G et (a',a'') \in G => (a,a'') \in G, c'est à dire que l'image reciproque de p1 pour l'ensemble des a inter l'image reciproque de p2 pour les a' et incluse dans l'image reciproque de p1 pour lesa .

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à finir l'exercice ? Merci d'avance.


Posted by: alavacommejetepousse

bonsoir

je ne suis pas sûr de comprendre la définition ni de p1 n de p2 et a fortiori de p'1, p'2

peux tu expliciter p1 ?


Posted by: bug

oui, p1 est la projection de AxA dans A (pas dans G!) et p2 est la seconde projection de AxA dans A.


Posted by: alavacommejetepousse

pour p1, p2 en effet c'est ce qu'on appelle en général première et deuxième projections

p'1 : G -> A, (x,y) - > x , R réflexive => p'1 ( et p1) surjective ( pas bijective a priori)










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