Mathématiques - Relation entre les racines de deux polynômes

Relation entre les racines de deux polynômes
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Posted by: darkmaster

Bonjour,
Voici un problème d'olympiade très intéressant mais difficile

:
On considère les polynômes:
$P(x)=4x^3 - 2x^2 - 15x + 9$ et $Q(x)=12x^3 + 6x^2 - 7x + 1$
1/ Démontrer que chaque polynôme possède trois racines réelles et simples.
2/ A soit la racine la plus grande de $P(x)$ , B soit la racine la plus grande de $Q(x)$ . Montrer que $A^2+3B^2=4.$
Bonne chance!

Posted by: khaclong

j'ai trouvé la solution de la première question
on a
$P(-2)=-1<0$
$P(0)=9>0$
$P(1)=-4<0$
$P(2)=3>0$
On a P(x) est une fonction continue et
$P(-2)P(0)<0$
$P(0)P(1)<0$
$P(1)P(2)<0$
Alors P(x) a 3 racines simples
Par analogue ,on a
$Q(-2)=\frac{-31}{2} <0$
$Q(0)=1>0$
$Q(\frac13)=\frac{-2}{9} <0$
$Q(\frac12)=\frac12 >0$
Alors Q(x) a 3 racines simples

Posted by: darkmaster

Bon, et la deuxième?