Relation binaire et Application involutive

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Posted by: Algebros

Salut !
L'exercice á suivre est trés dur; j'ai essayé de le trouver dans Dunod, Breal, Hprepa, en vain. Il me semble qu'il est trés difficile. Pourrez vous m'aidez?
Merci d'avance!

Soit E un ensemble non vide. On se donne 2 parties A et B de E et on définit l'application f: P(E)--->P(E), X---->[A(inter)X]U[B(inter)Xbar].
1.Discuter et resoudre f(X)=$\Phi$.
Deduire une condition necessaire pour que f soit bijective.
2.On suppose maintenant que B=Abar
a-Exprimer f á l'aide de la difference symertrique $\Delta$
b-Montrer que f bijective; determiner $f^{-1}$.
c-Verifier que f involutive
d-Quelle propriété déduit-on?


Cet exercice, un peu comme une devinette s'énonce:
Soit R une relation binaire sur E, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant?
"xRy ===> yRx car R symétrique,
or (xRy et yRx)===> xRx car R transitive,
donc R réflexive".

Merci d'avance de votre aide.


Posted by: becirj

Bonsoir
Pour que la relation soit réflexive , il faut que xRx pour tout x ce qui n'est pas assuré par la symétrie et la transitivité.


Posted by: becirj

1. (A\cap X)\cup (B\cap X}= \Phi lorsque X n'a aucun élément commun avec A et avec B donc lorsque X\subset \bar {A\cup B}

Pour que f soit bijective, il est nécéssaire que f(X)=\Phi \Rightarrow X=\Phi soit \bar {A\cup B}=\Phi \ \ ou\ \ A\cup B =E

Excuse moi, ce n'est pas ça, j'ai mal lu le texte;


Posted by: becirj

(A\cap X)\cup (B\cap \bar X)=\Phi lorsque A\cap X =\Phi\ soit\ X\subset \bar A et B\cap \bar X =\Phi \ soit \ B\subset X
On doit donc avoir B\subset X\subset \bar A
Si B\not \subset \bar A l'équation n'a pas de solution.
Si B\subset \bar A sont solutions les parties X vérifiant B\subset X\subset \bar A .


Posted by: Galt

Citation:
Posté par Algebros

Cet exercice, un peu comme une devinette s'énonce:
Soit R une relation binaire sur E, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant?
"xRy ===> yRx car R symétrique,
or (xRy et yRx)===> xRx car R transitive,
donc R réflexive".

Merci d'avance de votre aide.

Ca ne marche que si, x étant donné, il existe au moins un y tel que xRy. Autrement dit, une relation reflexive et symétrique peut comporter des éléments isolés qui ne sont pas en relation avec eux-mêmes. EN revanche, tout élément relié à un autre est aussi relié à lui-même, comme la démonstration précédente le prouve


Posted by: becirj

Voila la suite:
1. Pour que f soit une bijection, il est ncessaire que l'équation f(X)=\Phi admette une solution et une seule donc que B=\bar A , la solution unique est alors X=B=\bar A .

2.a) f(X)=(A\cap X)\cup (\bar A \cap \bar X)=A\Delta \bar X =\bar A \Delta X
b)Rappels : la différence symétrique est associative, admet \Phi pour élément neutre et pour toute partie A ,A\Delta A =\Phi
Soit Y une partie de E,
f(X)=Y \Leftrightarrow \bar A \Delta X =Y
\bar A \Delta X=Y \Rightarrow \bar A \Delta \bar A \Delta X=\bar A \Delta Y
\Phi \Delta X =\bar A \Delta Y
X=\bar A \Delta Y
L'équation f(X)=Y admet une solution et une seule X=\bar A \Delta Y; f est donc une bijection et f^{-1}=f .

c) f\circ f(X)=f(\bar A \Delta X)=\bar A \Delta \bar A \Delta X =X
(même calcul que dans la partie b)

d) On retrouve que f^{-1}=f


Posted by: yos

Becirj , je sais qu'il est tard mais...
Quand on résout f(X)= phi, on doit trouver X en fonction de phi.


Posted by: becirj

\Phi est l'ensemble vide, on ne peut pas exprimer une partie de E en fonction de \Phi


Posted by: yos

phi est l'ensemble vide??? C'est la meilleure celle là.
Donc je n'ai rien compris mais pourtant la suite de l'exercice me donne raison: "en déduire une CNS pour que f soit bijective" Il s'agit bien de chercher des antécédents à une partie quelconque de E. Cela dit je trouvais drôle de la noter phi!

Quoi qu'il en soit on n'a pas le choix pour résoudre l'exercice: il faut chercher des antécédents à une partie que je vais noterT pour éviter la confusion.

Pour toute partie X, on a :
(A inter B) inclus dans f(X) inclus dans (A union B).
Ainsi pour que T ait un antécédent, il est nécessaire que :
(A inter B) C T C (A union B).
(On peut montrer que c'est suffisant)
Si on veut que f soit surjective, il est donc nécessaire que A inter B soit vide et que A union B soit égal à E (là aussi, ce doit être suffisant).
Je dirais que l'injectivité s'ensuivra.

La construction de f^(-1)(T) n'est pas très dure :faire un dessin.


Posted by: becirj

Il y a plusieurs manières d'aborder l'exercice, j'ai simplement suivi l'esprit du texte en prenant les questions telles qu'elles étaient posées.


Posted by: Algebros

Hi, merci de vos aides; nb: ce n'est pas CNS mais CS;
alors que devient finalement la methode de resolution? merci bcp.


Posted by: yos

CN plutôt!
Il est vrai que la recherche d'antécédents de l'ensemble vide te fournit une CN qui est que (A,B) doit former une partition de E.
Ma remarque était spécieuse (je n'avais pas compris cette histoire de phi=vide).
Le raisonnement de Becirj pour la CN puis dans le groupe
(P(E),delta) est irréprochable.

L'étude de f lorsque (A,B) n'est pas une partition de E est intéressante mais ce n'est pas l'objet de ton exercice.










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