Régression planaire

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Posted by: gurdon

Bonjour j'ai un problème de régression planaire.
J'ai utilisé la méthodes des moidres carrés afin de connaitre l'équation du plan passant le plus rpoche possible de de tous les points d'un nuage de points.
Cela revient donc à résoudre l'équation suivante
Somme(de i=1 jusqu’à n) [Zi-(aXi+bYi+c)]² = S(a; b; c)
on obtient ensuite:

S(a; b; c) = Somme(de i=1 jusqu’à n) [Zi-(aXi+bYi+c)]²
Somme(de i=1 jusqu’à n) [Zi²-a²Xi²-b²Yi²-c²-2abXiYi-2acXi-2bcYi]

Afin de minimiser la distance entre chaque point et le plan dont on cherche l'équation il faut calculer les dérivées partiels de S(a,b,c) par rapport à a,b et c. Afin que cette distance soit minimale les dérivées sont égales à 0.On obtient alors un système de trois équations à trois inconnues.

dS/da = -2(somme Xi²)a-2(somme XiYi)b-2(somme Xi)c = 0
dS/db = -2(somme Yi²)b-2(somme XiYi)a-2(somme Yi)c = 0
dS/dc = -2c-2(somme Xi)a-2(somme Yi)b = 0

Quand je calcul a, b et c en utilisant une matrice ou un système d'équations, je trouve à chaque fois que a, b et c sont tous égal à 0. Cela n'est pas normal et je ne comprend pas pourquoi. Peux être que j'ai fait une erreur et que les dérivées partielles ne doivent pas être nulle, ou autre chose. Je ne sais pas.

Merci de me venir en aide. et de m'expliquer pourquoi cela ne marche pas.


Posted by: Quidam

Bonjour,

Effectivement, tu fais une erreur :

\Large S = \sum_i [Z_i-(aX_i+bY_i+c)]^2

La dérivée partielle par rapport à a, par exemple, est :

\Large \frac{\partial S}{\partial a} = \sum_i 2\times [Z_i-(aX_i+bY_i+c)]\times (-X_i)
\Large \frac{\partial S}{\partial a} = 2\times \sum_i [-X_iZ_i+aX_i^2+bY_iX_i+cX_i)]
\Large \frac{\partial S}{\partial a} = 2\times [-\sum_i X_iZ_i+a\sum_i Xi^2+b\sum_i X_iY_i + c\sum_i X_i]
D'où l'équation : \Large \frac{\partial S}{\partial a} = 0 qui s'écrit :

\Large a\sum_i Xi^2+b\sum_i X_iY_i + c\sum_i X_i = \sum_i X_iZ_i et non 0 !


P.S. D'ailleurs, dans ta solution, les \Large Z_i n'intervenaient absolument pas ! Or ton plan dépend évidemment des \Large Z_i !


Posted by: gurdon

Merci beaucoup pour ton aide. Comme ça je vais pouvoir résoudre mon problème.
Bonne journée










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