Mathématiques - Règle de l'hôpital

Règle de l'hôpital
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Posted by: euclide

Bonjour, voilà un exemple de calcul de limite que l'on obtient facilement avec la règle de l'hôpital :

$\lim_{x \to +\infty}sqrt{x^2-2x}-x = -1\,$

car on peut écrire :

$sqrt{x^2-2x}-x = x sqrt{1-\frac{2}{x}}-x = x(sqrt{1-\frac{2}{x}} - 1)= \frac{sqrt{1-\frac{2}{x}} - 1}{\frac{1}{x}}\,$

et :

$\lim_{x \to +\infty}sqrt{1-\frac{2}{x}}-1= 0 \qquad \lim_{x \to +\infty}{\frac{1}{x}}= 0$

ainsi que :

$(sqrt{1-\frac{2}{x}}-1)\prime = \frac{1}{x^2 sqrt{\frac{x-2}{x}}} \qquad (\frac{1}{x})\prime = \frac{-1}{x^2}$ et $\frac{\frac{1}{x^2 sqrt{\frac{x-2}{x}}}}{\frac{-1}{x^2}} = \frac{-1}{sqrt{1-\frac{2}{x}}$

donc :

$\lim_{x \to +\infty}sqrt{x^2-2x}-x = \lim_{x \to +\infty}\frac{-1}{sqrt{1-\frac{2}{x}}} = -1$

Seulement voilà pour la limite en - $\infty$ je trouve les même formules et donc la même limite -1 avec cette méthode or je sais que c'est faux car la limite en - $\infty$ est évidement + $\infty$ (avec la méthode classique). Je sais que la règle de l'hôpital peut amener à des erreurs donc je compte sur vous pour me dire si mon raisonnement est juste ou non et pourquoi cette méthode ne fonctionne pas pour calculer cette limite en - $\infty$ .

Posted by: mirabobo

Salut

La règle de l'Hospital est à utiliser uniquement quand x tend vers $x_0$ et pas $+\infty$ ou $-\infty$ .

J'espère que je ne me trompe pas, il vaut mieux attendre la réponse d'un membre plus érudit...

Posted by: tize

Si si, on peut appliquer la règle de l'Hôpital en $3$+ou-\infty$ , voir ici par exemple ...

Posted by: mirabobo

Désolé alors, parce que dans un de mes livres il y a marqué:

(...)En effet, selon cette règle si $\frac{f(x)}{g(x)}$ prend la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ quand x tend vers $x_0$ (et pas $+\infty$ ou $- \infty$ ) et si $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ admet une limite finie quand x tend vers $x_0$ , alors: (...)

C'est de la merde ce livre ou j'ai mal compris?

Posted by: Alpha

Personnellement je ne connais la règle de l'hôpital qu'en un certain $x_0$ , et pas en + l'infini.

La règle de l'hôpital est juste la simple constatation que si $f$ et $g$ sont dérivables en $x_0$ , la limite de $\frac{f}{g}$ en $x_0$ est le quotient des dérivées de $f$ et de $g$ en $x_0$ (il suffit de l'écrire pour le voir).
Par conséquent, la démonstration même faisant intervenir la dérivée en un point, la règle de l'hôpital ne s'applique à ma connaissance qu'en un point $x_0$ .

Posted by: Alpha

J'ai oublié de préciser qu'il fallait que $f(x_0)=g(x_0)=0$

Posted by: tize

La règle de l'Hopital marche aussi en $3$+ou-\infty$ ! cf par exemple l'excellent Arnaudies Tome 2
Je pense qu'il y a un problème en $- \infty$ parce que quand euclide sort le $3$x^2$ de la racine carré on a normalement $3$|x|$ et non pas $3$x$ ...il y a donc une erreur dans ce que Euclide à écrit...

Posted by: Alpha

Mais apparemment le lien envoyé par tize apporte une généralisation de cette règle. Si c'est le cas pour + et - l'infini, alors ça veut peut-être dire que la démonstration de cette généralisation dépassant le cadre du programme dans lequel ton livre se place, tu n'as pas le droit d'utiliser cette généralisation.

Posted by: euclide

Et quel propriété l'expression $\sqrt{x^2-2x}-x$ a pour que je ne puisse pas utiliser cette généralisation ?

Posted by: Mikou

sisi en + infini la regle marche aussi, la preuve est plus complique et ne fut trouver que plus tard il me semble.
Sinon ici mutliplie par la quantite conjugé, sortir le x² ne sert a rien :)

Posted by: euclide

Je suis d'acord mais ma question c'est "pourquoi la règle de l'hôpital ne marche pas en - $\infty$ pour cette limite".

Et en réponse à "tize" en utilisant $\left| x \right|$ en sortant x² je trouve cette expression :

$\frac{1}{sqrt{1-\frac{2}{x}}$

ce qui revient au même...

Posted by: tize

oui c'est vrai...j'avais remarqué...j'y réfléchi...

Posted by: tize

ça y est j'y suis...enfin je crois...
Pour pouvoir appliquer la règle de l'Hopital, il faut que la fonction au numérateur (et celle du dénominateur aussi...) tend vers 0 en $3$-\infty$ mais en corrigant ton erreur on trouve au numérateur : $3$\sqrt{1-\frac{2}{x}} + 1$ qui ne tend pas vers 0 en $3$-\infty$ voilà pourquoi ca ne marche pas : parce que toutes les hypothèses ne sont pas vérifiées

Posted by: euclide

Attend moi je trouve x(- $\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1$ ) et - $\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1$ s'annule...

Posted by: euclide

Autant pour moi, j'ai fais une erreur de signe t'as raison. Bravo

Posted by: tize

au "temps" pour moi

Posted by: oss007

bonsoir
pourquoi ne multiplies-tu pas par l'expression conjuguée: $sqrt(x^2-2x) + x$ , les numérateur et dénominateur ?

Posted by: tize

Bonsoir,
lis tous les postes... on sait très bien qu'on peut fair cela mais la question etait ici de savoir si l'on pouvait ou non appliquer la règle de M. l'Hôpital...