Mathématiques - [Reflexion] Paradoxe du Prisonnier

[Reflexion] Paradoxe du Prisonnier
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Posted by: Gnörf

Bonjour a tous, voila une petite question (connue) dont la réponse fut particulièrement contestée ... je vous laisse y réfléchir:

Dans un pays où la justice est rendue de façon singulière, un prisonnier a été condamné. Pour déterminer sa peine, il doit choisir entre 3 portes. Derrière deux d'entre elles, c'est l'échafaud, mais derrière la dernière, c'est la liberté! Le prisonnier désigne la porte n°2. Le geolier, dans sa grande bonté, lui précise : "Derrière la porte 1, c'est l'échafaud! Voulez-vous changer de porte?". Vous êtes à la place du prisonnier. Que faites-vous?

Bon voila c'est juste pour faire partager un résultat interressant .. amusez vous bien

Posted by: Patastronch

En changeant de choix j'augmente mes chances de survie a 2/3.

Posted by: Gnörf

Oui mais la c'est plus du jeu si tu trouve ttout de suite! Bien joué Patastronch

. Le bourreau ajoutant une nouvelle information il faut en tenir compte pour calculer les probabilités. Elles passent a 2/3 (et ne reste pas égales a 1/3 contrairement à une premiere intuition*)
Morale: Il n'y a que les imbéciles qui ne changent pas d'avis

A bientot tout le monde

*75% de la population

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Gnörf

Oui mais la c'est plus du jeu si tu trouve ttout de suite! Bien joué Patastronch

A bientot tout le monde

*75% de la population

Comprends pas ! Explique !
Bien sûr que les probas changent ! Pour moi elles passent de 1/3 à 1/2 que l'on change de porte ou pas ! ...jusqu'à ce que quelqu'un ait pu me convaincre que j'ai tort !

Posted by: Patastronch

pour vulgariser :

au depart t as une chance sur trois de trouver la bonne porte.
on t en suprime une parmis les 2 qui restent en te disant que celle la n'est pas la bonne.

donc en changeant ton choix tu as :

si t'avais trouvé la bonne porte des le début en changeant ton choix tu perds : 1/3 (proba du début)
si t'avais trouvé une mauvaise porte au début en changeant ton choix tu tombes sur la bonne porte : 2/3 (proba de tomber sur une mauvaise porte au début).

si t'es toujours pas convaincu enumere toutes les possibilités.

Néammoins je vois pas pourquoi ce résultat a pu etre contesté... a moins que le probleme se soit posé avant les travaux de Bayes.

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Patastronch

pour vulgariser :
...
si t'es toujours pas convaincu enumere toutes les possibilités.

Je suppose que je suis un peu trop vulgaire...je ne comprends toujours pas !

Posted by: Gnörf

Patastronch a exactement compris le "piège":
Avec la stratégie de ne jamais changer de porte, il est clair que l'on a juste une chance sur trois de vous en sortir, puisque il y a une chance sur trois simplement que l'on désigne la bonne porte au départ.
Avec la stratégie de toujours changer de porte :
-> si le condamné avait dès le départ choisi la bonne porte, il perd immanquablement. Ce cas se produit avec une probabilité de 1/3.
-> si le condamné avait choisi une mauvaise porte, ce qui arrive avec une probabilité de 2/3, le geolier est obligé de montrer la 2è porte avec l'échafaud. La 3è porte, qui est choisie quand on change, est celle de la liberté.

On a donc 2 chances sur 3 de s'en sortir si on change de porte, contre 1 sur 3 si on ne change pas!

Voila ce que j'ai pût trouver au niveau de la "controverse":

Citation:

Ce paradoxe a été mis à la mode dans les années 1990 grâce à un jeu télévisé américain, Let's make a deal (le Bigdil en France). Dans ce jeu, le candidat choisissait au terme du jeu entre 3 portes, avec 1 cabriolet et 2 chèvres. La controverse est née d'un article dans une revue allemande militant en faveur du changement de porte, signé Marilyn vos Savant, qui a la particularité d'avoir le plus grand QI jamais mesuré (228). De grands scientifiques auraient été contre cette idée, et lui auraient envoyé des lettres d'insultes:
" Vous vous êtes fourvoyée. "
" De toute évidence, votre solution est contraire à la vérité. "
" Confessez votre erreur et, s'il vous plait, soyez plus sérieuse à l'avenir. "
" Il y a assez de gens au monde qui ignorent les mathématiques. "
" Si cela peut vous consoler, plusieurs de mes amis universitaires ont donné comme vous une réponse idiote ! "
" Vous avez été corrigée par plusieurs mathématiciens et vous ne voyez toujours pas votre erreur ! "
" Honte sur vous ! Le QI le plus élevé contribue à la propagation de l'ignorance ! "
" Peut-être le regard d'une femme sur les problèmes mathématiques diffère-t-il de celui des hommes ! "

Posted by: Chimerade

Désolé de te contredire : je ne suis absolument pas d'accord !

Posted by: Gnörf

qu'est ce qui ne vas pas ?

Posted by: André

Pas d'accord non plus !
(Gnörf, ne t'inquiète pas , je n'ai rien contre toi ! Bien au contraire ! ^^)

Posted by: André

Ah si !
Pas bête...
En résumant, le prisonnier a fait un premier choix. Il a une chance sur trois d'être libéré. Il peut changer de choix...
1. Si le goelier ne dis rien :
- s'il choisit de ne pas changer, la probabilité d'être libéré reste la même
- s'il choisit de changer, il a toujours une chance sur trois d'être libéré
2. Si le goelier lui donne la précieuse information :
- s'il choisit de ne pas changer, la probabilité d'être libéré passe à 1/2
- s'il choisit de changer, elle passe à 2/3
--> en changeant, la probabilté d'être libéré passe de 1/2 à 2/3... pas négligeable dans ce genre de situation !

Posted by: Gnörf

J'espere bien que tu n'as rien contre moi

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par André

2. Si le goelier lui donne la précieuse information :
- s'il choisit de ne pas changer, la probabilité d'être libéré passe à 1/2
- s'il choisit de changer, elle passe à 2/3
--> en changeant, la probabilté d'être libéré passe de 1/2 à 2/3... pas négligeable dans ce genre de situation !

La proba est toujours à 1/3 s'il ne change pas d'avis.
D'ailleur pour t'en convaincre il suffit de te dire que 1/2+2/3 > 1

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Chimerade

Désolé de te contredire : je ne suis absolument pas d'accord !

Désolé de me contredire, mais j'ai changé d'avis ! Ca m'a coûté deux heures de sommeil hier soir : pas moyen de fermer l'oeil, jusqu'à ce que je me sois convaincu que j'avais tort.

Donc quand je serai condamné, je changerai de porte... Je vais faire une simulation pour m'en convaincre encore mieux...

Posted by: Alpha

Citation:

Posté par Chimerade

Je vais faire une simulation pour m'en convaincre encore mieux...

j'espère que ça sera une simulation plus douce que d'avoir le choix entre l'échaffaud et la liberté! Ne fais pas de bêtises, mon ami!

Reviens-nous entier! Je n'ai pas le temps de me pencher sur ce nouveau sujet, mais j'y reviendrai plus tard.

Cordialement, Alpha

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Alpha

j'espère que ça sera une simulation plus douce que d'avoir le choix entre l'échaffaud et la liberté! Ne fais pas de bêtises, mon ami!

Que ce ne soit pas ta dernière simulation!

T'en fais pas ! C'est fait ! J'en suis sorti indemne !

Posted by: Zebulon

Bonjour,
grrr... moi je ne comprends toujours pas !
J'ai choisi la porte 2 et le bourreau m'assure que ce n'était pas la porte 1. Donc c'était la porte 2 ou 3.
Si je change, je choisis la porte 3 :
si c'était la porte 2, je perds
si c'était la porte 3, je gagne.
Donc une chance sur deux de gagner.
Si je ne change pas, je reste sur mon choix de la porte 2 :
si c'était la porte 2, je gagne
si c'était la porte 3, je perds.
Donc une chance sur 2 de gagner.
Vraiment, je ne comprends pas ce qui est faux. Pourriez-vous m'expliquer, s'il vous plaît?

Posted by: Patastronch

Prends le raisonnement depuis le début :

Au début 3 portes.

Tu fais un choix :
1/3 de trouver la bonne.
2/3 de se tromper

On t'enlève une mauvaise porte. Si tu ne change pas ton choix tu change pas ta chance de gain qui reste 1/3.

Si tu change de choix elle passe a 2/3 car :
Si tu avait choisi une mauvaise porte (2/3 au départ) celle qui reste après suppression d'une mauvaise porte est la bonne.

Si tu avais le bon choix (1/3) des le début, alors celle qui reste est une mauvaise porte.

Il y a donc 2/3 que la porte qui reste soit la bonne porte.

edit: En fait il faut bien saisir une chose, la seule proba qui rentre en jeu est le premier choix, le reste est du déterminisme (stratégie), donc pas de proba.

Posted by: EdDeline

lol, cette exemple a été dit dans la série numbers il y a 2 semaines :D

sorry si on la déja dit mais j'ai pas le courage de lire les 2pages pour savoir si on l'a dit ou pas :D.

Posted by: Patastronch

Je connais pas Numbers mais de toute façon cette conversation date de beaucoup plus d'une semaine. (il y en a 2 autres encore plus vieille sur le même sujet dans ce forum au passage)

Posted by: EdDeline

c'est diffusé sur rtl-tvi le vendredi a 20h25 si tu veux ;), c'est comme les experts mais au lieu de sciences, c'est les maths :D

Posted by: buzard

bonjour,

classique comme paradoxe, seulement il n'y a rien qui permette de conclure à ce que vous dites.

la probabilité ne grimpe pas à 2/3 s'il change de porte.

avec l'information d'une mauvaise porte, on se retrouve face à choix entre deux options.

le prisionnier à donc bien 1/2 de trouver la bonne porte.

et ce que l'on se place dans le cas particulier (choix : 2, éliminé : 1), ou dans le cas général d'un choix quelconque, avec élimination par le geolier d'une des autres portes.

Dans votre décompte des possibilités vous omettez sans doute, la symétrie lorsque le geolier donne l'information.
Il élimine en effet une porte, mais il aurais tout autant pu éliminer l'autre (possibilité que vous ne comptez pas.

si vous faite du calcul conditionnelle, il faut conditionner tout les évennement et pas seulement ceux qui nous arrange.

voila un decompte exhaustif

http://img189.imageshack.us/img189/8351/tableaupu5.jpg

1 pour liberté, 0 pour mort
en colonne : les choix du prisionnier
en lignes : la porte menant à la liberté, et la porte éliminé par le geolier

remarque 1/2 c'est toujours mieux que 1/3

Posted by: Patastronch

Tu confonds stratégie et choix.

Il n'ya pas de probabilité dans une stratégie vu que le choix est fait a l'avance. Donc une fois la porte éliminé, on applique la stratégie décidée (changer ou pas de porte).

Je me répete mais bon :

Stratégie 1 : Ne pas changer de porte.
1/ Si je choisis la bonne porte (1 chance sur 3), la porte éliminée sera une des deux mauvaises, je ne change pas de choix et je gagne.
2/ Si je choisis un des 2 mauvaises portes (2 chances sur 3), la porte éliminée sera la seconde mauvaise, je ne change pas de choix et je perd.

Conclusion avec la stratégie 1 : 1/3 de gagner, 2/3 de perdre.

Stratégie 2: Changer de porte.
1/ Si je choisis la bonne porte (1 chance sur 3), la porte éliminée sera une des deux mauvaises, je change deporte et je perd.
2/ Si je choisis un des 2 mauvaises portes (2 chances sur 3), la porte éliminée sera la seconde mauvaise, je change de porte et je gagne

Conclusion avec la stratégie 2 : 2/3 de gagner, 1/3 de perdre.

Conclusion finale : La stratégie 2 domine la stratégie 1.

Au passage ce n'est plus considéré comme un paradoxe puisque résolu depuis pas mal de temps deja.

Posted by: Flodelarab

J'ai lu des dizaines d'articles sur ce probleme effectivement classique et aucun ne m'a convaincu. Je suis d'accord avec Buzzard: Il est trop facile d'ignorer délibérément des informations.

Je vous cite l'introduction d'un de ces articles:

Citation:

J'ai 2 enfants dont l'un est un garçon. Quelle est la probabilité pour que l'autre soit une fille ? 1/ 2 ou 2/ 3 ?

- 2/ 3, bien sûr, car il y a 2 cas favorables ( Garçon - Fille et Fille - Garçon) pour 3 cas possibles ( Garçon - Fille, Fille - Garçon et Garçon - Garçon) ;

- 1/ 2, si j'avais précisé que l'aîné était un garçon ; 1 cas favorable ( GF ) pour 2 cas possibles ( GF et GG )

Voila typiquement un cas où le manque de rigueur amène a dire une anerie; L'auteur introduit une notion de position dans la fraterie, qui n'a rien a voir avec la question initiale.

Je vais même plus loin dans la provocation:
La probabilité de faire 6 avec un dé à 6 faces est 1/2
Ben oui!
2 cas totaux: "Faire 6" et "Ne pas faire 6"
1 cas favorable: "Faire 6"
ça fait bien 1/2 ....

Pour moi, ceci prouve l'immense complexité des probabilités. Car sur cette exemple simple, on sait que les fréquences que nous obtiendrons ne vérifieront pas la théorie maladroitement calculée.
Mais sur un exemple plus complexe, qui peut nous assuré que les "cas" choisi sont équiprobables ?...

Il est trop facile d'ignorer les informations qui s'ajoutent. Si on change l'énoncé, on change le résultat.
Au moyen âge, la proba d'arriver à 100 ans était 0 (grosso modo).
Ce n'est plus le cas. Feriez vous fi des progrès de la science aujourd'hui pour calculer l'espérance de vie ?
Non. Bon. Alors ... Prenez en compte la remarque du geolier et considérer bien que la proba de se tromper et de se faire prendre est 1/2. Reprendre les proba d'avant reviens a aller reprendre l'esperance de vie du moyen âge.

ok?

Posted by: scelerat

Ce tableau ne represente rien que des possibilites, pas les probabilites associees. Il y a bien un paradoxe, c'est que la probabilite vaut effectivement 0 ou 1, le prisonnier meurt ou survit, et que des probabilites fractionnaires signifient qu'on imagine de repeter l'experience, ce qui est difficile une fois le prisonnier execute ou echappe...
Appelons A la porte ou se trouve la liberte. Le prisonnier fait initialement le choix A, B, ou C avec une probabilite 1/3 chacun. Le geolier ouvre alors une porte, qui n'est ni la porte A, ni la porte choisie. On a donc {porte choisie, porte ouverte} avec les probabilites :
AB -> 1/6
AC -> 1/6
BC -> 1/3
CB -> 1/3
Si le prisonnier change son choix pour l'autre porte encore fermee, il va en
C -> 1/6
B -> 1/6
A -> 1/3+1/3=2/3

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par scelerat

Il y a bien un paradoxe, c'est que la probabilite vaut effectivement 0 ou 1, le prisonnier meurt ou survit, et que des probabilites fractionnaires signifient qu'on imagine de repeter l'experience, ce qui est difficile une fois le prisonnier execute ou echappe...

L'ennoncé initiale (issus de la théorie des jeux) n'est pas celui donné par Gnorf au passage mais seulement d'une victoire ou d'une perte ( à la maniere de pierre feuille ciseau, pour lequel on prouve facilement que la stratégie optimale est une stratégie mixte de 1/3 pour chaque choix :p ). L'ennoncé donné par Gnorf est un énnoncé romancé.

Posted by: buzard

Citation:

Posté par scelerat

Ce tableau ne represente rien que des possibilites, pas les probabilites associees.

Je n'ai jamais dis qu'il s'agissait d'un tableau de probabilité, et au contraire je l'ai introduit comme un décompte en effet j'aurais du ecrire des possibilité.

Je vous laisse le soin de compter le nombre de 0 ou de 1 suivant les proba que vous voulez calculer.

et autre chose :

P(choisir la bonne porte parmis 3) = 1/3

P(choisir la bonne porte parmis 3 sachant que le geolier élimine une des portes) = P(choisir la bonne porte parmis 2) = 1/2

je ne vois pas pourquoi vous ne conditionnez pas ce calcul? D'accord avec l'argument du moyen-age

Posted by: buzard

pour la question de stratégie

garder ou pas la porte choisi au départ sont deux stratégie de même force, aucune ne domine l'autre ni ne domine, la stratégie de choisir aléatoirement parmis les deux portes restante.

La remarque du geolier change le jeu de choisir parmis 3 portes, à choisir parmis 2 portes. Dans la mesure ou il fait la remarque quelque soit le choix du prisonnier.

Là où l'on peut considérer que la stratégie de changer est meilleure, c'est seulement si l'on considère le caractère humanitaire de la remarque du geolier, qui ne l'aurait sûrement pas faites si l'on avait choisi la bonne porte. Mais c'est une hypothèse hors de propos. Et peut-etre est-ce même le contraire, voulant ainsi confondre le prisonnier, afin qu'il s'oriente vers l'achaffaud.

Sur ce point seul le prisionnier est juge. Hors il est prisionnier, donc il n'est pas juge. Et le geolier est-il peut-etre aussi le bourreau.

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par buzard

P(choisir la bonne porte parmis 3 sachant que le geolier élimine une des portes) = P(choisir la bonne porte parmis 2) = 1/2
je ne vois pas pourquoi vous ne conditionnez pas ce calcul?

Je ne vois surtout pas pourquoi toi, tu ne conditionnes pas l'information donnee par le geolier.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par scelerat

Je ne vois surtout pas pourquoi toi, tu ne conditionnes pas l'information donnee par le geolier.

J'allais faire la meme remarque

Posted by: buzard

Citation:

Posté par scelerat

Je ne vois surtout pas pourquoi toi, tu ne conditionnes pas l'information donnee par le geolier.

On ne conditionne pas une information, qui en tant que telle est une vérité par là même toujours vrai.

par contre, on conditionne un évennement à une information.

l'évennement c'est choisir la bonne porte.
l'information c'est la porte désignée par le geolier n'est pas la bonne.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par buzard

Non mais le choix de la porte retirée par le géolier est elle conditionnée par le premier choix du prisonnier et du contenu des portes.

Si tu choisis la bonne porte au départ il y a une chance sur 2 qu'il choisisse une des deux portes restantes. Si tu choisis une mauvaise porte au départ le géolier montrera l'autre mauvaise porte avec une proba de 1.

L'information du géolier ne porte pas que sur la porte dévoilée (qui est mauvasie avec une proba de 1 commme tul e dis si bien) mais également sur la porte restante qui est de 2/3 pour qu'elle soit la bonne.

Je choisis la bonne porte au départ (proba de 1/3) :
1/2 qu'il retire la premiere restante, 1/2 qu'il retire la seconde.=> proba de 1 pour que la porte restante soit une mauvaise.

Je choisis une mauvaise porte au départ (proba de 2/3):
Proba de 0 qu'il retire la bonne, proba de 1 qu'il retire la mauvaise => proba de 1 que la porte restante soit bonne.

Si tu conditionnes cette information du géolier tu obtiens qu'il y a1/3 que la porte restante soit mauvaise et 2/3 qu'elle soit bonne=> on a bien 1/3 de gagner si tu garde la meme porte et 2/3 de gagner si tu changes de porte.

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par buzard

Ecoute, je propose que nous jouions a ce jeu. Tu es le geolier, je suis le prisonnier. Comme je ne veux pas risquer ma tete, nous mettrons 1.75 euro derriere l'une des portes, et je miserai un euro. Nous ferons le nombre de parties qu'il faudra pour que tu comprennes que le geolier ne designe pas librement la porte. D'apres toi, je gagne 1.75 euro chaque fois que j'en mise 2, tu es gagnant, tu devrais etre motive !

Posted by: TheReveller

J'ai fait un script Javascript... Je ne suis pas un professionnel de la programmation informatique, mais ça fonctionne. En tout cas, ça fonctionne sur mon ordinateur avec Internet Explorer 6 SP2 en autorisant le contenu. Testez par vous-même, ça donne 33% vs 66% !

Je dois avouer que je ne comprends pas complètement, mais je vais y penser.

http://nightbird.site.voila.fr/portes.htm

Si vous voulez des explications à propos de mon script, ne vous gênez surtout pas.

Bon, voilà ce que j'ai compris de tout ça :

D'abord et avant tout, c'est plus facile de comprendre en faisant des tests en mode «Éliminer toutes les portes sauf deux». Surtout qu'on constate bien évidemment que le mode «Éliminer une seule porte» et «Éliminer toutes les portes sauf deux» reviennent au même lorsqu'il y a trois portes.

Disons que nous avons 20 portes.
L'aide élimine pour nous 18 portes qui sont ni la porte qui mène au paradis ni la porte devant laquelle nous sommes pour qu'il ne reste que deux portes. C'est très important à savoir.
Il reste donc deux portes et par le fait même deux possibilités : Nous sommes devant le paradis et l'autre porte mène en enfer ou nous sommes devant l'enfer et l'autre porte mène au paradis.
En fait, au début, il y a une porte parmi les 20 qui mène au paradis. Vous en convenez donc qu'il n'y a seulement 5% de chances que nous soyons devant la porte qui mène au paradis.
Bref, s'il reste à la fin deux portes dont une qui mène au paradis et qu'il n'y a que 5% de chances que nous soyons devant cette porte, c'est qu'il y a alors 95% de chances que l'autre porte mène au paradis.

Si on en revient à nos trois portes, vous avez peut-être déjà compris où je voulais en venir avec tout ça.
Soit trois portes.
L'aide élimine pour nous une porte qui est ni la porte qui mène au paradis ni la porte devant laquelle nous sommes pour qu'il ne reste que deux portes. C'est très important à savoir.
Il reste donc deux portes et par le fait même deux possibilités : Nous sommes devant le paradis et l'autre porte mène en enfer ou nous sommes devant l'enfer et l'autre porte mène au paradis.
En fait, au début, il y a une porte parmi les trois qui mène au paradis. Vous en convenez donc qu'il n'y seulement 33,333% de chances que nous soyons devant la porte qui mène au paradis.
Bref, s'il reste à la fin deux portes dont une qui mène au paradis et qu'il n'y a que 33,333% de chances que nous soyons devant cette porte, c'est qu'il y a alors 66,666% de chances que l'autre porte mène au paradis.

Cette méthode est valable pour tous les cas en mode «Éliminer toutes les portes sauf deux». L'autre mode, «Éliminer une seule porte», je l'avais fait avant de m'apercevoir que la solution est bien plus simple à comprendre en logique de probabilités grâce au mode «Éliminer toutes les portes sauf deux» puisque les deux modes sont équivalants lorsqu'il n'y a que trois portes.

Sinon, vous pouvez essayer de comprendre ce qui se passe lorsqu'on augmente le nombre de portes en mode «Éliminer une seule porte», mais ce n'est pas là notre problème initial.

Voilà, selon moi le problème est résolu. Je crois que c'est une méthode simple et claire pour comprendre le phénomène. À moins que je me trompe puisque je n'ai jamais fait d'études en probabilités et statistiques, mais je crois que tout mon développement est logique.

J'espère qu'avec le «programme» et mes explications de ce que j'ai compris, j'aurai pu aider un peu. Ce matin je ne comprenais vraiment pas comment cela était possible et ce soir, grâce à cette nouvelle façon de voir le problème, je crois avoir compris.

Je suis prêt à lire vos opinions et vos réfutations à mes propos.

Citation:

Posté par TheReveller

Sinon, vous pouvez essayer de comprendre ce qui se passe lorsqu'on augmente le nombre de portes en mode «Éliminer une seule porte», mais ce n'est pas là notre problème initial.

Ça y est, j'ai tout compris. J'ai finis mes études en maths à un niveau pas très élévé (Dernières choses que j'ai apprises étaient les notions de base de la dérivée et l'intégrale), mais question de logique dans ce genre de problème, je comprends tout maintenant.

En fait, en premier lieu je m'étais trompé dans mon argumentation sur ce topic où on a conclu que c'était 50% / 50%, mais c'est totalement faux !

Soit 20 portes.
Au départ, nous sommes à une porte où il y a 5% de chances d'être la bonne. Les autres portes ont (100%-5%)/(20-1) d'être la bonne. On en élimine une qui n'est ni la bonne, ni la notre. Ces conditions sont cruciales. Il reste donc 19 portes où il y a toujours 5% de chances que la notre soit la bonne, mais maintenant les autres portes ont (100%-5%)/(20-1-1) d'être la bonne. Ainsi de suite jusqu'à ce qui ne reste que deux portes où notre porte a 5% d'être la bonne et l'autre a (100%-5%)/(20-18-1) d'être la bonne.

Si vous ne comprenez pas, essayez mon «programme». Choisissez par exemple 8 portes et le mode «Éliminer une seule porte». Vous avez toujours 1/8 (12,5%) d'être sur la bonne porte tandis que vous avez 14,58% de chances de trouver la bonne en changeant de choix parce qu'en éliminant une porte, les autres portes auront alors (100%-12,5%)/(8-1-1).

En formule mathématique, on a donc :

x = (1 - (1 / n)) / (n - a - 1)
ou
x = (1 - (1 / n)) / (b - 1)

et

y = 1 / n

n : Nombre de portes au total (nombre entier, n >= 2)
a : Nombre de portes éliminées au total (nombre entier, 0 <= a < (n-1))
b : Nombre de portes restantes au total (nombre entier, 1 < b <= n)

x : Probabilités que la bonne ne soit pas la nôtre pour chacune des portes restantes excluant la notre.
y : Probabilités que le bonne porte soit la nôtre.

Bref, dans ce topic : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=22882

Le jeu des 20 boîtes dont une qui contient un million, il y a effectivement 95% de chances de gagner le million si on change de boîte, puisque qui que ce soit qui élimine les boîtes, s'il n'en reste qu'une, c'est qu'il en reste une, point final, les autres sont éliminées. La difficulté de ce jeu n'est pas la dernière boîte, c'est plutôt lorsque le nombre de boîtes restantes diminue et qu'on ne doit pas choisir celle qui a le million.

En effet, au début :

20 boîtes, 5% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.

Ensuite :

19 boîtes, 5,277% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
18 boîtes, 5,588% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
17 boîtes, 5,938% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
16 boîtes, 6,333% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
15 boîtes, 6,786% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
[...]
5 boîtes, 23,75% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
4 boîtes, 31,666% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
3 boîtes, 47,5% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
2 boîtes, 95% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre. (Sauf que dans se cas-ci, on ne se trompe pas, c'est là qu'il faut trouver le million, alors c'est donc 95% de chances de trouver le million que l'on peut maintenant trouver et 5% de chances de se tromper et que le million était dans notre boîte.)

Donc, plus que le jeu avance, moins plus qu'on a de chances de se tromper de boîte. L'étape la plus cruciale est donc lorsqu'il reste seulement trois boîtes et qu'on doit choisir laquelle entre les deux nous élimineront pour qu'il ne reste qu'une seule boîte qui aura donc 95% de chances de contenir le gros lot, puisque lorsqu'il reste trois boîtes, les deux boîtes devant nous on chacune 47,5% de chances de contenir le prix, mais il ne faut pas le découvrir immédiatement.

Voilà, c'est pas mal pour un gars de 18 ans qui n'a jamais fait de mathématiques appronfondies ? Ça m'étonnerait que je me trompe, lorsqu'on simule cela sur le «programme», tout semble confirmer ma théorie. D'ailleurs, c'est grâce à la pratique qu'on comprend mieux la théorie et c'est ce que j'ai fait, j'ai mélangé théorie et pratique.

Posted by: lemalinfou

salut, ce paradoxe est assez connu, d'ailleurs dans la fin d'un épisode de "Numb3rs" notre héros pose le meme probleme pour trouver une voiture parmi 3 choix possible.

Posted by: ddy

Posons le problème:

Cas A:
Il y a 3 portes: 2 menent a l'echafaud, 1 à la liberté
temps T: le prisonnier choisit 1 porte
temps T+1:le jaulier désigne une porte telle que:
a) cette porte mène a l'echafaud
b) cette porte ne soit pas la meme que celle du prisonnier

note: le jaulier peut toujours y parvenir car:
- il sait ce qui se trouve derriere chaque porte
- il connait le choix du prisonnier (car il est antérieur)
- quel que que soit le choix du prisonnier
il reste toujours au moins 1 porte menant a l'echaufaud (et au plus 2)

temps T+2: le prisonnier connait la porte désignée par le jaulier, ainsi que la manière dont le jaulier désigne sa porte et choisit:
1) la porte qu'il avait déja choisie à T
ou
2) l'unique porte differente de son 1er choix et differente de celle du jaulier

Cas B:
Il y a 3 portes: 2 menent a l'echafaud, 1 à la liberté
temps T: le prisonnier choisit 1 porte (élimine une porte en fait) et annonce qu'il ouvrira de toute facon la porte qui n'est pas celle qu'il vient d'éliminer, ni celle qui sera désignée par le jaulier

temps T+1:le jaulier désigne une porte telle que:
a) cette porte mène a l'echafaud
b) cette porte ne soit pas la porte éliminée par le prisonnier

note: le jaulier peut toujours y parvenir car:
- il sait ce qui se trouve derriere chaque porte
- il connait le choix du prisonnier (car il est antérieur)
- quel que que soit le choix du prisonnier
il reste toujours au moins 1 porte menant a l'echaufaud (et au plus 2)

temps T+2: le prisonnier connait la porte désignée par le jaulier et choisit comme annoncé:
- l'unique porte differente de son 1er choix et differente de celle du jaulier

Cas A: cas réaliste; le prisonnier ne veut pas choisir la meme porte que celle du jaulier car il sait qu'elle mène à l'echaffaud, et il ne veut pas mourir
il a donc le choix entre 2 portes dont l'une mene a l'echafaud, et l'autre pas; qu'il fasse 1) ou 2), il a donc 1/2 chance de rester en vie

Cas B: cas surréaliste ou il y a effectivement 2/3 d'éliminer une porte menant à l'echaffaud et de permettre au jaulier d'éliminer la 2ieme porte menant à l'echafaud; donc 2/3 de survivre

Il ne reste plus qu'a connaitre la probabilité de se trouver dans le cas B plutot que dans le cas A (proche de 0 à mon avis ^^)

Posted by: fahr451

ce "paradoxe" a qq décennies d'âge et figure depuis dans tout bon manuel d'initiation aux probas.

voici un exemple également fort connu :
dans un chapeau il y a trois cartes à jouer une a ses deux faces peintes en noire une autre a ses deux faces peintes en rouge la troisième est bicolore rouge/noire.
On tire une carte au hasard la face apparente est rouge quelle est la probabilité pour que la face cachée soit noire ?

Posted by: Imod

Bonjour ,

il y a six possibilités équiprobabes et trois seulement qui font apparaître une face rouge l'autre face est rouge dans deux cas sur trois . La probabilité pour que l'autre soit noire est de 1/3 .

http://img143.imageshack.us/img143/...obabilitnm1.jpg

Imod

Posted by: fahr451

le "problème" imod c est que tu raisonnes correctement sur les faces et non comme bon nombre sur les cartes. :)

Posted by: ddy

La question est: quelle est la probabilité que la face cachée soit noire, sachant que la face apparente est rouge?
cas favorables: rouge/noir
cas possibles: rouge/rouge, rouge/noir
cas impossibles: noir/noir (car aucune face apparente n'est rouge)

P=nb cas favorables/nb cas possibles = 1 / 2

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par ddy

La question est: quelle est la probabilité que la face cachée soit noire, sachant que la face apparente est rouge?
cas favorables: rouge/noir
cas possibles: rouge/rouge, rouge/noir
cas impossibles: noir/noir (car aucune face apparente n'est rouge)

P=nb cas favorables/nb cas possibles = 1 / 2

OUI! Mais tu as deux fois plus de chances d'avoir tiré R/R que R/N.

3 faces rouges sont tirables et une seule à un dos noir. 1/3

Posted by: Flodelarab

la derniere carte noir noir n'a d'ailleurs aucune importance

Posted by: ddy

Citation:

Posté par Flodelarab

OUI! Mais tu as deux fois plus de chances d'avoir tiré R/R que R/N.

3 faces rouges sont tirables et une seule à un dos noir. 1/3

ca c'est un autre problème: tel que le pb a été posé, la probabilité d'avoir tiré une carte et d'avoir fait apparaitre une face rouge est de 1. c'est le point de départ du problème. la carte a deja été tirée et je suis certain que la face apparente est rouge. je n'ai pas à m'interesser à la probabilité que ce soit bien le cas; c'est déjà le cas.

Posted by: fahr451

finalement c'est pas mal y a toujours débat
je ne serais pas surpris que 1/3 soit la réponse attendue.

Posted by: Patastronch

La réponse est 1/3 au passage.

ddy, la probabilité d'avoir une carte rouge au premier tirage est un , c est vrai , mais la probabilité que ce soit la carte double rouge est de 2/3.

Ce débat a fait couler de l'encre aussi a l'époque, mais a l'époque ils avaient pas nos outils en probabilités, ce débat n'est normalement plus un débat mais un problème de compréhension de la situation pour ceux qui pensent que c'est 1/2.

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par ddy

OUI! Mais numérote chacune des faces quelles que soit sa couleur.
1 R/R 2
3 R/N 4
5 N/N 6

Tu es sur d'avoir une face rouge (probabilité de 1) mais as tu pioché la 1 ? la 2? ou la 3 ?

Dire que la proba est de 1/2 est équivalent à dire que la face 1 et la face 2 sont la meme...
Elles sont différentes mais de meme couleur.

3 faces tirables => 3 dos possibles (et équiprobables) => 1/3

Posted by: ddy

... et voila, j'ai raisonné betement à partir de la carte que j'avais en main après le tirage; sans me rendre compte qu'on me donnait 2 fois plus souvent la carte rouge/rouge que la carte rouge/noir. c'est de la triche, remboursez !

(j'ai honte

)