Mathématiques - [Reflexion] La fille de madame Dupont

[Reflexion] La fille de madame Dupont
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Posted by: Gnörf

Voila une petite question amusante, bien que peu difficiles, je vous laisse le temps d'y réfléchir

MR Smith rencontre Mme Dupond qui se promène avec sa fille.

- Bonjour, Mme Dupond , je vois que vous avez une fille qui vous ressemble beaucoup. Avez-vous d'autres enfants ?

- Oui, j'ai deux enfants, mais l'autre ressemble plus à son père !

Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?

Posted by: Chimerade

1865524517/5596573551 ?

P.S. Il manque un dt dans ta signature...

Posted by: rene38

0 puisqu'elle "se promène avec sa fille"

Posted by: Gnörf

non non ... quand meme pas tordu a ce point

Posted by: rene38

Citation:

Posté par Gnörf

non non ... quand meme pas tordu a ce point

Pas tordu, rigoureux dans le nombre : singulier implique moins de deux.

Posted by: Gnörf

Certainement, mais quand je marche dans la rue je porte mes chaussures et pourtant je n'ai pas aux pieds toutes celles que j'ai chez moi ... si j'écris avec mon stylo je n'en ai pas forcément un seul ... là est une petite nuance. Ta remarque aurait été pertinente si j'avais marqué "Sa" au lieu de "sa" ... enfin je ne sait pas si je me fait comprendre

Posted by: André

Beeeeeen... 0.5 ? ^^'

Posted by: Gnörf

hi hi hi, no no ...

Posted by: bdupont

Examinons la situation de Mme Dupond, mère de 2 enfants :
Cas favorable (F,F)
Cas possibles (G,G), (G,F), (F,G), (F,F), tous équiprobables faute d'indication supplémentaire sur l'âge des enfants et leur espérance de vie ou sur la probabilité conditonnelle d'accoucher d'un enfant de genre i lorsqu'on a déjà eu un enfant de genre j (i,j élément de {F,G})

Bref, tout ça pour donner comme réponse 1/4

Le piège de l'énigme c'est que le père ne joue aucun rôle dans l'histoire ?

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par bdupont

Examinons la situation de Mme Dupond, mère de 2 enfants :
Cas favorable (F,F)
Cas possibles (G,G), (G,F), (F,G), (F,F), tous équiprobables faute d'indication supplémentaire sur l'âge des enfants et leur espérance de vie ou sur la probabilité conditonnelle d'accoucher d'un enfant de genre i lorsqu'on a déjà eu un enfant de genre j (i,j élément de {F,G})

Bref, tout ça pour donner comme réponse 1/4

Si je suis bien, la probabilite de (G,G) est donc aussi 1/4. Je pense qu'il faut demander a Madame Dupont de deshabiller sa fille dans la rue pour verifier !
A propos, bdupont, ca nous aiderait de savoir si tu es une fille ou un garcon...

Posted by: Gnörf

Ra tu y été presque :D C'était bien joué de penser a ca. Tu remarquera que Mme Dupont ayant déja une fille le groupe GG n'est pas possible ... il ne reste donc qu'une chance sur 3 ... bien jouer

Posted by: putny57

Moi je dirais que l'autre enfant c'est le père de la fille!
Il ui ressemble...au moins pour ça y a pas de doute!

Posted by: bdupont

J'ai fourni cette réponse en désespoir de cause (fine allusion au probabilités des causes comme on disait autrefois pour évoquer le théorème de Bayes).
Comme tout le monde je cherche le piège de cette énigme et je n'exclus pas que ma cousine Dupond ne nous dise pas toute la vérité.

Pour répondre à Gnorf je dirais que le couple (G,F) est tout aussi impossible si l'on fait confiance à Mme Dupont.
Bref il est toujours aussi grand le mystère de la foi...

Posted by: Gnörf

Hum, nul n'a dit que cet enfant était le plus jeune

Posted by: putny57

Alors c'est quoi la réponse?

Posted by: Gnörf

Citation:

Posté par Gnörf

... il ne reste donc qu'une chance sur 3 ... bien jouer

Voili voilou

Posted by: André

Citation:

Posté par Gnörf

Ra tu y été presque :D C'était bien joué de penser a ca. Tu remarquera que Mme Dupont ayant déja une fille le groupe GG n'est pas possible ... il ne reste donc qu'une chance sur 3 ... bien jouer

Je ne suis pas d'accord...
Les couples (i,j) (i et j éléments de {F,G}), présentés par bdupont en prenant i le sexe de l'aîné et j celui du cadet, décrivent mal le problème. Il n'est pas question d'âge... Pourquoi faire intervenir ce paramètre qui fausse les probalités !?
En fait, l'ensemble des événements possibles sont les couples (i,j) (i et j éléments de {F,G}) avec i le sexe de l'enfant qui se promène avec Mme Dupond et j celui de l'autre enfant : (G,G), (G,F), (F,G) et (F,F). On cherche alors la probalité de (F,F) sachant que i=F. C'est donc 0.5 !

Posted by: Gnörf

oulalala ca devient drolement compliquer. On va reprendre a zéro.la réponse est : 1/3, et voici pourquoi :

On admet qu'il y a autant de naissances Filles et Garçons (la ressemblance avec le père ou la mère n'apporte pas d'information sérieuse et n'est là que pour perturber le lecteur !).
Dans une famille, il y a 4 cas possibles pour 2 enfants : FF, FG, GF et GG, tous équiprobables
Sachant que Mme Dupond a deux enfants dont une fille, il ne reste que 3 cas équiprobables sur les 4 précédents : FF, FG et GF.

Ainsi, la probabilité que Mme Dupond ait deux filles est égale à 1/3.

Posted by: André

Citation:

Posté par Gnörf

oulalala ca devient drolement compliquer. On va reprendre a zéro.la réponse est : 1/3, et voici pourquoi :

On admet qu'il y a autant de naissances Filles et Garçons (la ressemblance avec le père ou la mère n'apporte pas d'information sérieuse et n'est là que pour perturber le lecteur !).
Dans une famille, il y a 4 cas possibles pour 2 enfants : FF, FG, GF et GG, tous équiprobables
Sachant que Mme Dupond a deux enfants dont une fille, il ne reste que 3 cas équiprobables sur les 4 précédents : FF, FG et GF.

Ainsi, la probabilité que Mme Dupond ait deux filles est égale à 1/3.

Trop compliqué ? Alors, tout simplement : le sexe de l'autre enfant est indépendant du sexe de l'enfant qui est avec sa mère ; il y a autant de chance qu'un individu soit un garçon ou une fille ; l'autre enfant a donc une chance sur deux d'être une fille.
S'il y a une condradiction avec l'énoncé dans ce que je viens de dire, indique-la moi...

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Gnörf

Ainsi, la probabilité que Mme Dupond ait deux filles est égale à 1/3.

Tout-à-fait d'accord avec Gnörf : d'ailleurs, je l'avais dit le 04/01 à 23H58 !
En effet : 1865524517/5596573551 = 1/3

Posted by: Gnörf

Citation:

l'autre enfant a donc une chance sur deux d'être une fille.

Le problème (si on peut appeler ça comme çà) vient bien du fait qu'il y ai deux enfants dont l'un déja est une fille. Dans une famille il n'y que quatres "possibilité"(voir plus haut) ... seulement il ne peut pas yavoir la possibilité "les deux enfant sont des garcons" ... il ne reste plus que trois cas ... On veut qu'il y ai deux filles ... 1/3

.
Attention le couple FG est différent du couple GF si cela avait était le meme, la réponse aurait été de 1/2 ...

Posted by: André

Citation:

Posté par André

Admettons... Mais alors que quelqu'un m'indique en quoi ma réponse (que je cite de nouveau) contredit l'énoncé...

Posted by: André

Dans ce cas, je vais travailler sur vos raisonnements.
Nous travaillons donc sur les couples (i,j) (i et j des éléments de {F,G}) où i et j sont respectivement les sexes de l'aîné et du cadet.
4 cas possibles : (G,G), (G,F), (F,G) et (F,F).
Le problème ne dis pas si la fille qui se promène avec sa mère est l'aînée ou la cadette. Balayons alors tous les cas possibles :
1. elle est l'aînée : nous cherchons donc la probabilité de (F,F) sachant que i=F => 0.5
2. elle est la cadette : nous cherchons donc la probabilité de (F,F) sachant que j=F => 0.5
Dans ces 2 cas, la probabilité est 0.5...

Posted by: Gnörf

je dirais que le problème vient du fait que tu résonne par rapport à l'enfant déja présent ... tu fixe celui ci et tu résonnes ensuite ...

Citation:

On n'est jamais assez prudent avec les critères de probabilités. Ici, les éléments connus conditionnant le résultat sont : 2 enfants, 1 fille, et rien d'autre.
Si Mme Dupont avait ajouté que l'enfant qui l'accompagne est le plus âgé (ou le plus jeune) ( mais elle ne l'a pas dit ! ), alors la réponse serait effectivement 1/2.

A part ça je ne suis pas spécialiste en probabilités conditionnelles et moi aussi je ne comprenais pas pourquoi, la probabilité n'était pas un demi. Il s'avère qu'il faut considerer la chose comme une totalité ... enfin je dit ça je dis rien

Peut-être qu'un grand du forum t'éclaireras mieux que moi

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par André

Admettons... Mais alors que quelqu'un m'indique en quoi ma réponse (que je cite de nouveau) contredit l'énoncé...

C'est cela qui est très difficile !

Mais imagine simplement une autre expérience :

Un million de couples ont chacun deux enfants : Selon les probabilités de naissance, 250000 d'entre eux ont eu deux filles, 250000 d'entre eux ont eu deux garçons, et 500000 ont eu un garçon et une fille ! Vrai ou faux ?

A présent tu te promènes et tu rencontres par hasard l'un de ces couples et tu apprends que l'un de leur deux enfants est une fille : tu en déduis que le hasard t'a fait rencontré l'une des 750000 familles qui ont au moins une fille ! Vrai ou faux ?

Force sera de constater que 500000 d'entre elles avaient par ailleurs un garçon, et seulement 250000 d'entre elles avaient par ailleurs une autre fille !

C'est difficile d'expliquer en quoi ton raisonnement est erroné ! De ton côté, explique-moi pourquoi, de ton point de vue, mon raisonnement est erroné !

Posted by: Chimerade

Autre expérience (si la précédente ne t'a pas convaincu)

Tu mets quatre cartes peintes dans un sac.
Une carte a un recto rouge et un verso rouge.
Une carte a un recto rouge et un verso noir.
Une carte a un recto noir et un verso rouge.
Une carte a un recto noir et un verso noir.

Mais le recto ne peut être distingué du verso !

Tu tires une carte au hasard et tu n'en vois qu'un seul coté : il est rouge ! Quelle est la probabilité que l'autre côté soit rouge ?

Posted by: Gnörf

je rajoueterai que tu ne sais pas si c'est le recto ou le verso ... sinon ça redevient 1/2

Posted by: André

Citation:

Posté par Chimerade

C'est difficile d'expliquer en quoi ton raisonnement est erroné ! De ton côté, explique-moi pourquoi, de ton point de vue, mon raisonnement est erroné !

Soit un couple qui a 2 enfants. 1/3 est la probabilité pour ce couple d'avoir 2 filles sachant qu'il n'a pas 2 garçons.
Or cet événement n'équivaut pas à l'événement : le couple a une autre fille sachant qu'il en a déjà une.
C'est la probabilité du 2ème événement qu'on cherche ! Nan ?

Posted by: bdupont

Salut André,

Pour te convaincre de la réalité de p=1/3 je te propose de considérer les probabilités conditionnelles, en raisonnant sur l'espace probabilisé {(G,G),(F,G),(F,F)} :
A = Madame D. a deux filles ; p(A) = p({(F,F)} = 1/4
B = Madame D. a au moins une fille; p(B) = 1-p({(G,G)}) = 3/4

p(A).p(B/A) = p(B).p(A/B) d'où p(A/B) = p(A).p(B/A)/p(B)

Comme p(B/A)=1 on a p(A/B) = (1/4)/(3/4) = 1/3

Ah ces proba, toujours prêtes à nous piéger!

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par André

Il n'y a pas d'evenement. Il y a une difference entre le couple qui va avoir une deuxieme fille sachant qu'il en a deja une (Madame Dupont attend un heureux evenement) et le couple qui a deux enfants dont au moins une fille (un etat qui se rapporte aux autres couples dans la meme situation).

Posted by: Alpha

Bonjour,

pour en rajouter une couche, la probabilité est bien de 1/3.

Avec mes souvenirs de Terminale S, c'est on ne peut plus simple :
il suffit de regarder le cardinal de l'univers des possibilités, puis le cardinal des façons d'obtenir l' "événement" voulu, et de faire le quotient du second par le 1er.

Ici, on sait déjà que Mme Dupont a une fille. Cependant, on ne sait pas si elle a été obtenue en 1er ou en 2ème. L'univers est donc réduit à (F,G) , (G,F) , et (F,F) (car l'univers est, puisque l'on sait qu'il y a une fille, l'ensemble des couples (X,Y) où [ X=F ou Y=F]. Donc le cardinal de l'univers est 3.

Ensuite, regardons, parmi les différents éléments de l'univers des possibilités, quelles sont les façons dont on peut obtenir deux filles. Cela correspond évidemment au couple (F,F), et c'est évidemment le seul élément de l'univers vérifiant cela.

La probabilité est donc de 1/3.

J'ai lu dans un Science et Vie d'il y a au moins 1 an que ce résultat avait tendance à choquer particulièrement les gens, lorsqu'il était comparé au résultat du même exercice, mais en ajoutant dans l'énoncé que la fille a été obtenue en 1er. Le résultat est alors différent, il est de 1/2, car l'univers est alors réduit aux deux couples (F,F) et (F,G).

Je pense que, si certains sont choqués par cela, c'est parce qu'il font appel à une notion très vague de probabilités, ils se disent quelque chose de ce genre : "peu importe que le 1er enfant soit une fille ou un garçon, il y a toujours 1 chance sur 2 pour que le second soit une fille! Le fait que le 1er enfant soit un garçon ou une fille n'a aucune influence sur le sexe du 2ème enfant!"

Mais ce genre de raisonnement n'est pas un calcul de probabilité.

Alpha+