reduction d'une forme quadratique

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Posted by: praud

Bonsoir,
j'essaye de reduire la forme quadratique.Est ce que vou pouvez me dire si ce que j'ai fait est juste et comment finir si c'est bon.
\[<br /> \begin{array}{l}<br /> x_1^2 - 6x_1 x_2 + 4x_1 x_3 - 2x_1 x_4 + 9x_2^2 - 12x_2 x_3 + 5x_2 x_4 + 4x_3^2 - 5x_3 x_4 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 )^2 - 9x_2^2 + 4x_1 x_3 - 2x_1 x_4 + 9x_2^2 - 12x_2 x_3 + 5x_2 x_4 + 4x_3^2 - 5x_3 x_4 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 )^2 + 4x_1 x_3 - 2x_1 x_4 - 12x_2 x_3 + 5x_2 x_4 + 4x_3^2 - 5x_3 x_4 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 )^2 + (2x_3 + x_1 )^2 - x_1^2 - 2x_1 x_4 - 12x_2 x_3 - 5x_3 x_4 + 5x_2 x_4 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 )^2 + (2x_3 + x_1 )^2 - (x_1 + x_4 )^2 + x_4^2 - 12x_2 x_3 - 5x_3 x_4 + 5x_2 x_4\\ <br /> \end{array}<br /> \]


Posted by: Youcef

Citation:
Posté par praud
Bonsoir,
j'essaye de reduire la forme quadratique.Est ce que vou pouvez me dire si ce que j'ai fait est juste et comment finir si c'est bon.
\[<br /> \begin{array}{l}<br /> <br /> = (x_1 - 3x_2 )^2 + (2x_3 + x_1 )^2 - x_1^1 - 2x_1 x_4 - 12x_2 x_3 - 5x_3 x_4 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 )^2 + (2x_3 + x_1 )^2 - (x_1 + x_4 )^2 + x_4^2 - 12x_2 x_3 - 5x_3 x_4 \\ <br /> \end{array}<br /> \]


j'ai l'impression qu'il y a 2 erreurs a la 3 eme ligne : tu dois retrancher X1^2 et non pas X1^1 (jpense que c'est une erreur de frappe).. aprés tu oublie un élément quand tu passe a la 4eme ligne .. vérifie bien !


Posted by: Joker62

Pour ma part quand je réduis une FQ, j'commence par rassemblé tous les carrés et après j'arrange ( à la Gauss quoi ! )

\displaystyle (x_1 - 3x_2 + 2x_3 - x_4)^2 = x_1^2 + 9x_2^2 + 4x_3^2 + x_4^2 - 6x_1x_2 + 4x_1x_3 - 2x_1x_4 - 12x_2x_3 + 6x_2x_4 -4x_3x_4

Voilà, regarde ce que t'as en trop, où ce qu'il te manque, et arrange.


Posted by: praud

OK j'ai corrigé les fautes.Mais comment finir la decomposition.


Posted by: chococoo

euh,peut etre que j'ai tort,mais je pense qu'il faut utiliser la méthode de gauss : je m'explique :
ca consiste a regrouper tous les termes en x1 sous un carré,puis de retrancher les termes en trop.
il ne reste donc plus de termes en x1,et on continues avec les x2,x3,etc...et tu n'as plus qu'une somme de carrés !!
exemple :
ta premiere parenthese sera
(x1-3*x2+2*x3-x4)^2 a laquelle tu enleves les termes en trop...

si je n'ai pas été clair,hésites pas!


Posted by: praud

est ce que vous pouvez me dire si c'est juste:

\[<br /> \begin{array}{l}<br /> (x_1 - 3x_2 + 2x_3 - x_4 )^2 - x_2 x_4 - x_4^2 - x_3 x_4 = \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 + 2x_3 - x_4 )^2 - (x_4 + x_2 + x_3 )^2 + x_2 x_4 + x_3 x_4 + 2x_2 x_3 + x_2^2 + x_3^2 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 + 2x_3 - x_4 )^2 - (x_4 + x_2 + x_3 )^2 + (x_2 + x_3 )^2 + x_2 x_4 + x_3 x_4 \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 + 2x_3 - x_4 )^2 - (x_4 + x_2 + x_3 )^2 + (x_2 + x_3 )^2 + x_4 (x_2 + x_3 ) \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 + 2x_3 - x_4 )^2 - (x_4 + x_2 + x_3 )^2 + (x_2 + x_3 )^2 + \left( {\frac{{x_4 + x_2 + x_3 }}{2}} \right)^2 - \left( {\frac{{x_4 - x_2 - x_3 }}{2}} \right)^2 \\ <br /> \end{array}<br /> \]


Posted by: fatal_error

Bonjour, je pense que c'est faux. Tu as un ev dim 4, tu peux pas avoir 5 carrés. 4 max.


Posted by: praud

Est cee que vous pouvez me le corriger.


Posted by: chococoo

a partir de la deuxieme ligne,ton objectif est qu'il n'y ai plus de termes en x4
donc tu factorises de telle sorte a cequ'ils disparaissent (c'est a dire en placant des facteurs 1/2 au bon endroit !)


Posted by: praud

Citation:
Posté par chococoo
a partir de la deuxieme ligne,ton objectif est qu'il n'y ai plus de termes en x4
donc tu factorises de telle sorte a cequ'ils disparaissent (c'est a dire en placant des facteurs 1/2 au bon endroit !)


Comment on factorise pur faire disparaitre les x_4


Posted by: praud

Est que c'est juste :

\[<br /> \begin{array}{c}<br /> (x_1 - 3x_2 + 2x_3 )^2 = x_1^2 + 9x_2^2 + 4x_3^2 - 6x_1 x_2 + 4x_1 x_3 - 12x_2 x_3 \\ <br /> x_1^2 - 6x_1 x_2 + 4x_1 x_3 - 2x_1 x_4 + 9x_2^2 - 12x_2 x_3 + 5x_2 x_4 + 4x_3^2 - 5x_3 x_4 = (x_1 - 3x_2 + 2x_3 )^2 - (x_4 (2x_1 + 5x_2 - 5x_3 ) \\ <br /> = (x_1 - 3x_2 + 2x_3 )^2 - (\frac{{x_4 + 2x_1 + 5x_2 - 5x_3 }}{2})^2 + (\frac{{x_4 - 2x_1 - 5x_2 + 5x_3 }}{2})^2 \\ <br /> \end{array}<br /> \]










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