Mathématiques - recurrence urgente

recurrence urgente
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Posted by: Non inscrit

salut pour tous,j'ai besoin d'aide pour demontrer patr recurrence:
(cos^(n))(x)=cos(x+npi/2)

de meme pour sinus
merci de votre, je vous remerci d'avance.

Posted by: phenomene

Bonjour, as-tu testé ta formule pour $x=0$ et $n=1$ ? C'est louche !

Edit : Oups, j'ai cru que la puissance était mise pour la multiplication, alors que probablement $(n)$ désigne la dérivée $n$ -ième. Dans ce cas, une formule de trigonométrie devrait suffire...

Posted by: N_comme_Nul

Salut !

Je le fais pour le sinus alors :D

On a $\sin^{(0)}(x)=\sin(x)$
$\sin^{(1)}(x)=\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2} \right)$
$\sin^{(2)}(x)=-\sin(x)=\sin(x+\pi)=\sin\left(x+2\frac{\pi}{2} \right)$
$\sin^{(3)}(x)=-\cos(x)=-\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\frac {\pi}{2}+\pi\right)=\sin\left(x+3\frac{\pi}{2} \right)$

On peut conjecturer alors que pour tout entier naturel $n$ :
$\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)$

Cette formule est vraie pour $n=0$ .
Supposons qu'elle soit vraie pour un entier $n\geq0$ .
$\sin^{(n+1)}(x)= (\sin^{(n)}(x))'= \left(\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \right)^'= \cos\left(x+n\frac{\pi}{2} \right)= \sin\left(x+n\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)= \sin\left(x+(n+1)\frac{\pi}{2} \right)$