Récurrence, fonction polynôme et suites.

[geobioman]

Bonjour, j'ai quatre exercices à faire pour demain, c'est le début de l'année et j'ai encore du mal à me mettre dans le bain. J'ai réussi à en faire la moitié de deux, les autres sans résultats.

Exercice 1:
On pose tn=5+3x4^(n+2)+10^n où n est un entier naturel.
Démontrer par récurrence que la propriété "tn est divisible par 9" est vraie pour tout entier naturel n.

Voilà ma réponse:

tn=5+3x4^(n+2)+10^n
Proposition: tn est divisible par 9.

_ initialisation:
t0=5+3x4²+1=5+3x16+1=54
54/6=9 donc la proposition est vraie.

_ hyppothèse de récurrence:
Supposant que pour un entier naturel quelconque p, la proposition soit vraie.
tp=5+3x4^(p+2)+10^p

_ hérédité:
tp+1=5+3x4^(p+3)+10^(p+1)=?

Je bloque donc à partir de l'étape hérédité.

Exercice 2:

Q est la fonction polynôme définie sur R par: Q(x)=x^3/3-x²/2+x/6.
1) Vérifier que pour tout réel x: Q(x+1)-Q(x)=x²
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Q(n) est un entier naturel.

Exercice 3:

On note n!=1x2x3x...xn et on lit "factorielle n".
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a: 1+2x2!+3x3!+...+nxn!=(n+1)!-1

Ici, je ne vois même pas comment développer l'étape initialisation.

Exercice 4:

La suite (un) est définie par u0=1 et pour tout entier naturel n par: un+1=((un)+4)/((un)-2).
On pose, pour tout entier n, Vn=((un)+1)/((un)-4).
1) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique.
2) Exprimer Vn, puis (un) en fonction de n.

Ici, je fais le rapport de Vn+1/Vn et je trouve -2/3, c'est donc une suite géométrique de raison -2/3.

Voilà ma réponse à la première question. Mais je n'arrive pas à faire la question 2).

Merci.

[Skullkid]

Bonsoir.

Exo 1 : . Le but est de faire apparaître dans cette expression, pour profiter le l'hypothèse de récurrence, commence par réduire les puissances :



De cette écriture, essaye de faire apparaître , et la conclusion viendra d'elle-même.

Exo 2 : Calcule séparément Q(x+1) et Q(x), en développant ce qu'il y a à développer dans Q(x+1), et en réduisant au même dénominateur, 6, puis calcule la différence pour obtenir Q(x+1)-Q(x) = x². Cette propriété te servira lors de l'hérédité de la récurrence.

Exo 3 : La propriété est vraie pour n=1 : 1 est bien égal à (1+1)! - 1.

Pour l'hérédité, remarque que la somme de gauche au rang n+1 est égale à cette même somme au rang n, à laquelle on ajoute (n+1)(n+1)!

Exo 4 : Ne sait-on pas exprimer le terme général d'une suite géométrique quand on dispose de sa raison de son premier terme ? (je te fais confiance pour la raison, j'ai pas calculé).