Récurrence bizarre :S

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Posted by: Dan

Bonjour à tous!

J'ai une récurrence à résoudre qui est la suivante:

An = 0 si n=0
An-1 + nr^n si n>= 1 (je n'arrive pas à écrire les indices et
exposant donc on a ici A indice n-1 et
n fois r exposant n...désolé pour le
désagrément :) )


Donc il faut que je trouve le terme général de ctte récurrence. J'ai essayé par les séries génératrices mais ca ne fonctionne tout simplement pas. Il parait qu'il y a une astuce pour ce type de récurrence. Si quelqu'un pourrait m'aider SVP ca serait très très apprécié avant que je deviennes fou!!!!

Merci d'avance!!!


Posted by: rene38

Bonsoir

ne serait-ce point pour http://www.maths-forum.com/images/l...d466cd95f8a.gif

http://www.maths-forum.com/images/l...2e595f63635.gif

ça marche pour n=0 et l'hérédité ne pose pas de problème.


Posted by: Dan

C'est possible. Le gros problème en ce moment est le suivant:

J'ai une équation qui donne la somme d'une suite de nombre qui est définit comme suit:

Sn = a(n+1) + la solution de la récurrence que je viens de donner plus haut.

Donc si je mets

Sn = a(n+1) + Sommation de ir^i (solution de la récurrence)

Par la suite, je dois prouver ce résultat par induction. Est-ce possible si je garde cette formulation?

Encore merci ;)


Posted by: Dan

j'ai oublié de dire... a est une constante et r aussi :)


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Dan
J'ai une récurrence à résoudre qui est la suivante:

An = 0 si n=0
An-1 + nr^n si n>= 1



Ben oui, il y a une astuce...

\Large A_n=n\times r^n+(n-1)\times r^{n-1}+...2\times r^2+r

Je considère la fonction f définie par :

\Large f(x)=n\times x^n+(n-1)\times x^{n-1}+...2\times x^2+x

Je cherche donc f(r) ok ?

\Large \frac{f(x)}{x}=n\times x^{n-1}+(n-1)\times x^{n-2}+...2\times x+1

Je considère alors la fonction F définie par :
\Large F(x)=x^n+x^{n-1}+...x^2+x

... et je constate que la dérivée F'(x) est égale à \Large \frac{f(x)}{x}

Or F(x) est la somme partielle d'une série géométrique. On trouve facilement que :

\Large F(x)=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}

Calculons alors la dérivée de F(x) :

\Large F'(x) = \frac{((n+1)\times x^n-1)\times(x-1)-(x^{n+1}-x)\times 1}{(x-1)^2}
qui se réduit à :

\Large F'(x) = \frac{n\times x^{n+1}-(n+1)\times x^n+1}{(x-1)^2}

On a vu que \Large \frac{f(x)}{x}=F'(x) donc :

\Large \frac{f(x)}{x} = \frac{n\times x^{n+1}-(n+1)\times x^n+1}{(x-1)^2}

\Large f(x) = \frac{n\times x^{n+2}-(n+1)\times x^{n+1}+x}{(x-1)^2}

Finalement \Large A_n = f(r) = \frac{n\times r^{n+2}-(n+1)\times r^{n+1}+r}{(r-1)^2}
On vérifie par exemple pour n=5, r=7

\Large 5\times 7^5 + 4\times 7^4 + 3\times 7^3 + 2\times 7^2 + 7 = 94773

d'une part, et :

\Large \frac{5\times 7^7-6\times 7^6+7}{6^2}=\frac{3411828}{36}=94773

... d'autre part.

Ben ça a l'air de marcher !


Posted by: DAn

WOW!

Cool merci! Tu peux pas imaginer comment ca va m'aider :D

Bonne soirée et encore merci!

Dan


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par DAn
WOW!

Cool merci! Tu peux pas imaginer comment ca va m'aider :D

Bonne soirée et encore merci!

Dan


Si, si ! Je peux imaginer...

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