Recouvrir le plan par des angles

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Posted by: Imod

Un problème que j'ai proposé sur Les Mathématiques.net toujours sans réponse !

On se donne n secteurs angulaires saillants de mesure totale 360° et n points du plan . Peut-on disposer à coup sûr ces n secteurs avec leurs sommets sur les n points de façon à ce qu'ils recouvrent entièrement le plan ?

Amusez-vous bien

Imod


Posted by: nuage

Salut,
une réponse à la limite, avec 2 secteurs de 180° et 2 sommets distincts c'est pas possible.
Intuitivement je dirais que si les sommets des secteurs sont alignés c'est pas possible non plus.
Mais ce n'est pas une démonstration...
[modification] Bien sur c'est toujours possible avec deux secteurs de 180°


Posted by: Imod

Le problème n'est pas simple , il faut vraiment se méfier de ses réflexes !

Imod


Posted by: ffpower

Je pense pas que ce soit possible non plus:trouve moi donc un exemple avec 3 angles de 120 degrés et 3 points alignés


Posted by: Imod

Citation:
Posté par ffpower
Je pense pas que ce soit possible non plus:trouve moi donc un exemple avec 3 angles de 120 degrés et 3 points alignés

http://img228.imageshack.us/img228/1951/angles6az7.jpg


Si B est dans le segment [AC] , on considère les trois secteurs en B puis on fait glisser en A et C comme sur le dessin . Les nouveaux secteurs bleus et jaunes contiennent les anciens et le rouge n'a pas changé donc les trois secteurs en A , B et C recouvrent le plan .

Imod


Posted by: nodgim

1ère réponse partielle: toujours possible pour n<=3.
J'ai besoin d'un peu de temps supplémentaire pour n>3


Posted by: Imod

Prends ton temps nodgim ! De toute façon je n'ai pas la démonstration mais je suis convaincu que c'est possible dans tous les cas .

Imod


Posted by: nodgim

ça marche effectivement quelque soit n.
Un secteur donné a un voisin gauche et droite. Pour positionner le voisin de gauche, par exemple, il faut choisir un point situé dans le demi plan de droite défini par la droite de séparation entre les 2 secteurs. Il suffit alors de positionner chaque secteur les uns après les autres dans un sens donné, en respectant la contrainte énoncée ci avant. Il faut juste faire attention pour la fin, se garder un point libre bien positionné pour faire le raccord final.

Je craignais une impossiblité avec un ensemble de points tous alignés, mais il n'y a aucune objection de ce coté là.

La preuve n'est pas facile à avancer, mais le nombre de combinaisons possibles grandit avec n.


Posted by: Imod

Je t'ai sûrement mal lu mais je ne comprends vraiment pas comment tu disposes les différents secteurs aux différents points

Imod


Posted by: nodgim

La description que j'ai faite est minimale mais pas suffisante.
Stratégie possible pour trouver une solution: Positionner les secteurs regroupés en un disque unique au milieu du nuage de points. Déplacer les secteurs vers les points toujours "à reculons", de telle sorte que les faisceaux (si l'on considère que les secteurs sont des phares avec leurs faisceaux lumineux) soient toujours dirigés vers le centre du nuage. Toute l'astuce consiste donc à bien positionner au départ les différents phares au regard des points.
Tu viens en fait d'inventer un jeu, le nombre de combinaisons est infini (infinité de positionnement des points, infinité de partage en secteurs). Dans la rubrique "jeux" de Sciences et Vie, par exemple, il aurait sa place!


Posted by: Imod

Citation:
Posté par nodgim
Stratégie possible pour trouver une solution: Positionner les secteurs regroupés en un disque unique au milieu du nuage de points. Déplacer les secteurs vers les points toujours "à reculons", de telle sorte que les faisceaux (si l'on considère que les secteurs sont des phares avec leurs faisceaux lumineux) soient toujours dirigés vers le centre du nuage. Toute l'astuce consiste donc à bien positionner au départ les différents phares au regard des points.

En fait c'est toute la question qui reste donc ouverte !!!
1°) Où est le "milieu" du nuage de point ?
2°) Est-il possible d'orienter les secteurs placer sur ce centre de façon à ce que chacun "éclaire" un point du nuage ?

Imod


Posted by: Imod

Pour ceux que le problème intéresse j'ai proposé une "solution" sur le site "Les Mathématiques.net" ( lien ci-dessus ) . A suivre

Imod


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Imod
En fait c'est toute la question qui reste donc ouverte !!!
1°) Où est le "milieu" du nuage de point ?
2°) Est-il possible d'orienter les secteurs placer sur ce centre de façon à ce que chacun "éclaire" un point du nuage ?

Imod



Attention, on ne peut faire toujours correspondre 1 point et 1 secteur. Avec 5 points alignés, par exemple, et 5 secteurs de 72 degrés, on ne peut faire cette correspondance, et pourtant il y a une solution. Il faudrait trouver un invariant dans l'équation.....Pas simple


Posted by: Imod

Citation:
Posté par nodgim
Attention, on ne peut faire toujours correspondre 1 point et 1 secteur. Avec 5 points alignés, par exemple, et 5 secteurs de 72 degrés, on ne peut faire cette correspondance, et pourtant il y a une solution. Il faudrait trouver un invariant dans l'équation.....Pas simple

Tout à fait d'accord , c'est pour cela que j'ai proposé une solution ( à vérifier ) avec f_{\sigma} . Pour les progammateurs il serait amusant de voir ( les calculs sont simples ) comment il faut distribuer les secteurs selon les positions des points A_i et s'il est possible de caractériser ces positions géométriquement .

Imod


Posted by: nodgim

Apparemment, un contre-exemple qui infirme la conjecture: 3 points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral, avec 3 secteurs de 20°, 20°, 320°.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par nodgim
Apparemment, un contre-exemple qui infirme la conjecture: 3 points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral, avec 3 secteurs de 20°, 20°, 320°.

Les secteurs angulaires sont supposés saillants ( de mesure inférieure à 180°) donc le contre-exemple n'en est pas un

Imod










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