Mathématiques - Réciproque Loi Forte des Grands Nombres

Réciproque Loi Forte des Grands Nombres
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Posted by: matteo182

Bonjour,
Je dois montrer la réciproque de la loi forte des grands nombres.
Le problème est posé comme suit :

$(X_n), \quad n\geq 1$ une suite de variables aléatoires identiquement indépendantes.
Soit $B= \left{ \omega, \frac{X_1(\omega) + \ldots + X_n(\omega)}{n}$ CV dans lR quand n tend vers $+\infty }$
Si $P(B) = 1$ alors $E(|X_1|) < + \infty$ .

Supposons $P(B) = 1$ et donc on cherche à montrer $E(|X_1|)< + \infty$ .

Alors pour cela je pose $A_n = \left{ \omega , |X_n(\omega)| \geq n \right}_{n\geq 1}$
Et donc on a : $A = \bigcap_{N\geq 1} \bigcup_{n\geq N} A_n$ .

La première étape , montrer que $B \subset A^{c}$ ne me pose pas de problème.

Deuxième étape, montrer que $\sum_{n \geq 1} P(A_n) < + \infty$ , j'arrive à $\prod \sum P(A_n) = 0$ et maintenant comment conclure ?

Ensuite troisième étape, Montrer que $P(A_n) = P( \left{ |X_1| \geq n \right} ) \quad \forall n \geq 1$ . La je bloque.
En supposant donc que l'on ait cette égalité on obtient
$P(B)=1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} P( \left{ |X_1| \geq n \right} ) < + \infty$ .

Ultime étape et là encore je bloque :
Montrer $\sum_{n \geq 1} P( \left{ |X_1| \geq n \right} ) < + \infty \Leftrightarrow E(|X_1|) < + \infty$

Merci pour vos réponses,
Mathieu

Posted by: Isomorphisme

Bonsoir,

Attention à la 2ème étape. A la 1ère étape, tu as montré que $B \subset A^c$ . Par suite, on a $\mathbb{P}(A) = 0$ c'est-à-dire que $\mathbb{P}(\lim \sup A_n) = 0$ . Or, en utilisant le lemme de Borel-Cantelli, forcément tu as : $\sum_n \mathbb{P} (\mathbb{A_n}) < + \infty$

Par ailleurs, $\mathbb{P} (A_n) = \mathbb{P} (|X_n| \ge n) = \mathbb{P} (|X_1| \ge n)$ car les $(X_n)_n$ sont iid.

Enfin, n'est-il pas précisé que tes variables aléatoires sont à support dans $\mathbb{Z}$ ou dans $\mathbb{N}$ ?

Posted by: matteo182

Non ce n'est pas précisé, je pense que c'est dans N.
Merci pour l'idée du Lemme de Borel-Cantelli.

Je pense avoir terminé la preuve. Voilà comment je montre la denière étape.

$E(|X_1|) = \int_0^{+\infty} P \left{ |X_1| \geq t \right} dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_n^{n+1} P \left{ |X_1| \geq t \right} dt \leq \sum_{n=0}^{+\infty} P \left{ |X_1| \geq n \right} = P \left{ |X_n| \geq n \right} < + \infty$

On obtient donc l'inégalité souhaité.
Ca paraît correct ?