Re: PGCD

[poule]

Bonsoir !
J'ai un exercice un peu compliqué à faire, et je me demandais si vous auiez pu m'expliquez ?
Soient deux nombres entiers naturels A et B tels que:
- Leur somme est égale à 132.
- Leur PGCD vaut 11.
1) Expliquer pourquoi peut-on écrire A=11a et B=11b avec a et b entiers naturels.
2) Quelle propriété simple lie a et b ?
3) Déterminer alors A et B. Combien trouve-t-on de solutions ?

J'ai déjà fait le 1), et pour le 2), on m'a expliqué que la propriété était que leur PGCD est égal à 1. Je ne comprends pas pourquoi. Vous pouvez m'expliquer s'il vous plaît ?

Bonne soirée !

[Thomas Joseph]

Je vais te l'expliquer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde.

Supposons que le PGCd de a et b soit supérieur à 1, alors c'est qu'il existe un nombre entier k>1 tel que k divise a et k divise b.
Donc il existe m et n tel que a=km et b=kn (comme tu l'as fait pour la question 1)
Donc A=11a=11km et B=11b=11kn
Donc 11k divise A et 11k divise B.
Donc 11k est un diviseur de A et B supérieur à 11. Ce qui est impossible car 11 est le PGCD de A et B d'après l'énoncé.
Donc notre hypothèse comme quoi k est supérieur à 1 est fausse.
Donc k=1
Donc a et b sont premiers entre eux.

[poule]

Dans le 1) j'ai fait:
Dividende=diviseur*quotient+reste
Diviende= A
Diviseur= 11
Quotient= a
A=11*a
A=11a
B=11*b
B=11b

Donc si a et b sont des quotients de A et B, m et n sont aussi des quotients mais de a et b ?

"Donc 11k est un diviseur de A et B supérieur à 11. Ce qui est impossible car 11 est le PGCD de A et B d'après l'énoncé."
Je ne comprends pas cette partie. 11 est un diviseur commun à A et B. k c'est un diviseur commun à a et b. Je ne comprends pas...

[poule]

En fait non, je pense avoir compris.
PGCD(A;B)=11 donc PGCD(11a;11b)=11 donc PGCD(a;b)=1. La propriété qui lie a et b est qu'ils sont premiers entre eux.