Rapport De Colle - Equation Differentielle

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: petitecharlotte

AaAAa les joies de la prépa et des rapports de colles (exercice de colle corrigé) que l'on doit rendre à sa chère professeur de mathématiques (...) !!!

Voilà l'intitulé de mon sujet :résoudre y'''+y''+y'+y=0

Voilà mon corrigé :

On pose Z= y"+y
Z' = y"'+y'

L'équation devient alors Z+Z'=0. Il faut alors résoudre une équation de premier ordre :

(H) Z' = Z

Z solution de (H) <=> Z(t) = Ko e^A(t) avec A primitive de a sur I
D'où Z(t) = Ko e^-x(t) avec Ko constante.

On a posé Z=y"+y

On a alors y"+y'= Ko e^^-x(t)

Il s'agita alors maintenant de résoudre une équation du second degré :

(H) y"+y = 0
(EC) r^2 +1=0 r=i r=-i

Solution de (H) : y(t)= lambda1 e^it + lambda2 e^-it
= lambda sin x + lambda2 cosx
Avec lambda 1 et lambda 2 appartenant à R

..... je ne sais pas comment finir le probleme et je ne sais pas si mon début est juste.... (Comme vous pouvez le remarquer je n'ai pas un gout prononcé pour les équations différentielles lol)
Merci d'accorder quelques minutes pour me dire ce que vous en pensez !!!!!!!!!!!!!!


Posted by: yos

Bonjour.
Pour reprendre ta méthode :
y'''+y''+y'+y=0 \Leftrightarrow z'+z=0 \Leftrightarrow z=Ce^{-x}\Leftrightarrow y''+y=Ce^{-x}\Leftrightarrow u''+u=0 où l'on a posé u=y-C/2 e^{-x}
y'''+y''+y'+y=0 \Leftrightarrow u=Acosx+Bsinx \Leftrightarrow y=Acosx+Bsinx+C/2 e^{-x}


Posted by: petitecharlotte

D'où provient cette expression :

u=y-C/2 e^{-x} ?


Posted by: yos

Citation:
Posté par petitecharlotte
D'où provient cette expression :

u=y-C/2 e^{-x} ?

Si t'as une autre idée...

Sinon tu peux faire autrement dés le départ : l'équation caractéristique de ton équadiff est r^3+r^2+r+1=0 dont les solutions sont -1, i, et -i. En conséquence les solutions de l'équadiff sont les fonctions x\mapsto ae^{ix}+be^{-ix}+ce^{-x}.
On retrouve bien les mêmes!


Posted by: petitecharlotte

Mais le début de mon corrigé est-il correct?


Posted by: nuage

Salut,
Citation:
Posté par petitecharlotte
...
Voilà l'intitulé de mon sujet :résoudre y'''+y''+y'+y=0

Voilà mon corrigé :

On pose Z= y"+y
Z' = y"'+y'

L'équation devient alors Z+Z'=0. Il faut alors résoudre une équation de premier ordre :

(H) Z' = Z

Z solution de (H) <=> Z(t) = Ko e^A(t) avec A primitive de a sur I
D'où Z(t) = Ko e^-x(t) avec Ko constante.

Il me semble que l'équation à résoudre s'écrit :
Z'=-Z
dont les solutions sont les fonctions de la forme Z(t)=K_0 \text{e}^{-t}
car t\rightarrow -t est une primitive de t\rightarrow -1.
Je ne vois pas bien ce que représentent A, a et x(t).

Citation:
Posté par petitecharlotte
On a posé Z=y"+y

On a alors y"+y'= Ko e^^-x(t)

Il s'agita alors maintenant de résoudre une équation du second degré :

(H) y"+y = 0
(EC) r^2 +1=0 r=i r=-i

Solution de (H) : y(t)= lambda1 e^it + lambda2 e^-it
= lambda sin x + lambda2 cosx
Avec lambda 1 et lambda 2 appartenant à R

..... je ne sais pas comment finir le probleme et je ne sais pas si mon début est juste.... (Comme vous pouvez le remarquer je n'ai pas un gout prononcé pour les équations différentielles lol)
Merci d'accorder quelques minutes pour me dire ce que vous en pensez !!!!!!!!!!!!!!

Pour la suite il reste à résoudre y''+y = K_0 \text{e}^{-t}
Tu as résolu y''+y = 0
--au passage une remarque : il vaut mieux éviter de changer le nom de la variable et donc il est prudent de noter tes solutions \lambda_1 \sin t + \lambda_2 \cos t
Il reste à trouver une solution particulière de y''+y = K_0 \text{e}^{-t}.
Ce qui peut se faire par la méthode de variation de constante, ou, plus simplement, en remarquant qu'il y a une solution de la forme t\rightarrow k \text{e}^{-t}


Posted by: petitecharlotte

Merci beaucoup pour vos réponses !!!! J'ai corrigé ce qui n'allait pas !!

Pour finir, je vous demanderais seulement si il est correct de terminer par :

....
Il reste dons à trouver une solution particulière de y''+y'=Ko e^-t
Ceci peut se résoudre par la méthode de variation de la constante, mais plus simplement on remarque qu'il y a une solution de la forme K e^-t.

Solution = solution générale + solution particulière

donc sol de (E) : y= lambda 1 sin t + lambda 2 cos t + K e^-t

Avec lambda 1, lamda 2 et K appartenant à R !


Posted by: nuage

Salut,
à ta place j'indiquerais plus précisément que je ne 'ai fait dans le message précédent comment on trouve la solution particulière.
En particulier comment k dépend de K_0.

Sinon la conclusion me semble correcte.


Posted by: petitecharlotte

DOis-je calculer k??

ET comment expliciter mon choix de solution particulière ?? :$


Posted by: maturin

ben pour ton choix de solution particulière c'est l'instinct
en gros quand t'as des exponentielle ça bouge pas trop en dérivant
donc tu te dis qu'une solution de la forme ke^-t doit exister
tu tentes dans l'équation et ça te donne 2k=K0 donc K0/2*e^-t est solution particulière

ta solution qui s'écrit solution particulière+solution générale doit se présenter dans un premier temps avec K0.

Ce n'est qu'après que tu peux virer ton K0/2 et metre un \lambda_3 pour avoir une solution plus jolie à écrire.


Posted by: petitecharlotte

Comment as-tu trouvé 2k=KO ??


Posted by: petitecharlotte

Comment Trouver 2k=k0 ???????


Posted by: petitecharlotte

A ok ok merci beaucoup .. j'ai enfin terminé !!

Merci pour votre aide !!










-