Mathématiques - rapidité de convergence d'une suite

rapidité de convergence d'une suite
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Posted by: totolivier

bonjour

je me demandais comment se définissait la "rapidité" de convergence d'une suite.

intuitivement, ca doit forcément faire intervenir (Un-l), avec l sa limite, mais suivant quelle critère?

merci

Posted by: MacManus

soit $u_n$ (n $\in \mathbb{N}$ ) une suite et l sa limite.
la vitesse de convergence de la suite u peut être définie par le rapport suivant : $\large \frac{|u_n - l|}{|u_n|^p}$ ou p est un entier strictement positif. Plus p est grand, meilleur est la convergence.
Par exemple, pour p = 1, on parle de convergence linéaire, pour p = 2, on parle de convergence quadratique, etc...(on peut utiliser cette définition dans un développement de Taylor, pour définir la "rapadité" d'une méthode de convergence : méthode du point fixe - méthode de Newton - méthode de la corde ...)

Sauf erreur de ma part

Posted by: totolivier

bjr

je n'ai pas tres bien compris...Si un=0, le rapport n'est plus défini. Imaginons que un non nul, à quoi correspond ce rapport sinon à une valeur? et le coefficient p à quoi il correspond puisqu'on aura tjs une valeur défini pour chaque n

Posted by: neuneu

Bonjour on caractérise la vitesse de convergence d'une suite en étudiant la limite du rapport $\large\frac{|u_{n+1}-l|}{|u_{n}-l|}$ .
Si on appelle $s$ cette limite ( en supposant qu'elle existe) elle est toujours comprise entre 0 et 1.
On dit que $(u_n)$ converge lentement vers $l$ si $s$ =1
$(u_n)$ converge géométriquement vers $l$ si 0< $s$ <1
$(u_n)$ converge rapidemment vers $l$ si $s$ =0