Bon raisonnement?

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Posted by: Mike_51

Bonjour.
je souhaiterais savoir si vous trouver quelque chose qui cloche dans mon raisonnement:
La question : (an)€(R*+)^N, telle que la série entière des an*x^n ait un rayon de convergence de 1. On suppose que la somme des an diverge. Etudier la limite quand x->1 par valeurs inférieurs, de la somme de n=0 à +oo des an*x^n.

Mon raisonnement : Soit a€[0,1[. [0,a] est un compact inclus dans le disque de convergence, donc la série converge normalement sur [0,a]. On applique donc le théorème de la double limite :
limite en a de la somme de la série des an*x^n= somme de la série des limite en a des an*x^n.
ceci étant vraie quelque soit a€[0,1[, on peut l'applique pour a=1 donc lim de la somme = somme des an = +oo.
Merci


Posted by: El_Gato

Dans ton raisonnement, tu passes en fait à la limite quand a tend vers 1. Il te manque donc une hypothèse de continuité au point 1 que tu n'as pas: le fait que, pour tout a <1 la série en question ait une limite en a n'implique pas qu'elle ait une limite en 1: prend une fonction continue sur 0 < x < 1 et qui a une asymptote verticale en 1.


Posted by: redwolf

Bonsoir.

Ca cloche dans les deux dernières lignes. Le raisonnement que tu fais pour a\in[0,1[ en quoi est-il utile pour ton affirmation concernant a=1 ?


Posted by: redwolf

Essaye plutôt de minorer le terme a_n x^n par \frac{1}{2}a_n pour n\in[0,n_0] avec n_0 fixé et x suffisamment grand.


Posted by: Mike_51

Je viens d'avoir une autre idée sinon.
On majore la somme de la série par la somme partielle : somme de 0 à +oo des an*x^n > somme de 0 à n des ak*x^k. (car an>0).
Appelons A le membre de gauche et B celui de droite.
A est croissante sur [0,1[, donc admet une limite dans [0,+oo[ quand x->1.
L'existence de la limite étant établie, on peut passer a la limite dans l'inégalité:
limA en 1 > lim(somme des ak*x^k) en 1= somme de 0 à n des ak.
Puis on fait tendre n vers +oo.
D'où limA en 1 =+oo.

ps: pour le message précédent, il y a un truc à faire comme ça, mais c'est demandé qu'à la question d'après.


Posted by: redwolf

Il faut juste inclure +\infty dans l'intervalle des limites possibles.


Posted by: Mike_51

exact, merci.










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