Mathématiques - la racine cubique

la racine cubique
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Posted by: aviateurpilot

salut les amis

trouver tous les entirers a tel que
$\sqrt[3]{2+\sqrt{a}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{a}} \ \in \ IN$

Posted by: Nightmare

Hum je dirai qu'il n'existe aucun entier a pour lequel notre nombre est entier ...
Déjà pour qu'il le soit, il faut que chaque racine cubique soit entiére, donc il faut que chaque radicande soit un cube parfait. Pour les radicandes soient des cubes, il faut déjà qu'ils soient entier, donc que les racines de a soient entières et par conséquent que a soit un carré parfait.

Supposons donc que a=k²
on doit donc avec 2+k=q^3 et cela ne semble pas être possible, je cherche la preuve.

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par Nightmare

Déjà pour qu'il le soit, il faut que chaque racine cubique soit entiére

$7=3,2+3,8=\sqrt[3]{32.768}+\sqrt[3]{54.872}$ sauf i je t'ai pas compris

Posted by: Nightmare

Oui certes mais comme je l'ai dit racine de a est soit entier, soit irrationnel. Pour que ça marche il faut qu'il soit entier, donc 2+V(a) est aussi entier, et sous cette condition ce que j'ai dit est correct.

Posted by: haydenstrauss

C'est pas si simple car :

$\sqrt[3]{2+sqrt{a}}$ n'est pas forcement un entier on ajoute apres $\sqrt[3]{2-sqrt{a}}$ metton l'un egal 3.2 et l'autre 1.8 alors c'est bon ....

Posted by: nada-top

Hola

je crois qu'il sufit de trouver les entiers a tels que $n^3+3an -4 =0$ a des solutions dans N NES PAS??

Posted by: aviateurpilot

on pose $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{a}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{a}}$
$x^3=4+3(\sqrt[3]{2+\sqrt{a}})(\sqrt[3]{2+\sqrt{a}})x=4+3\sqrt[3]{4-a}x$
donc x est une solution de l'equation $x^3-3\sqrt[3]{4-a}x-4=0$

Posted by: aviateurpilot

$a=4-(\frac{x^3-4}{3x})^3$ a est rationel

Posted by: nada-top

wé.. en fait c ce que j'ai fais mais je crois qu'il y avait une faute de calcul
j'ai posé $n=\sqrt[3]{2+\sqrt{a} } +\sqrt[3]{2-\sqrt{a} }$ DONC
$n^3-(3\sqrt[3]{4-a})n -4 = 0$

Posted by: nada-top

aviateurpilote ..je crois que ça manque un x au dénominateur (.../3x) pour a=...

Posted by: aviateurpilot

un autre indice
$(\sqrt[3]{2+\sqrt{a}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{a}})(\sqrt[3]{4+4\sqrt{a}+a}+\sqrt[3]{4-4\sqrt{a}+a}-\sqrt[3]{4-a})=4$

Posted by: nekros

Bonsoir,

Les sommes de racines cubiques donnent des résultats impressionnants :

Par exemple :

Pour $3$p \ge \frac{-5}{3}$ , $3$\sqrt[3]{(3p+2)+\sqrt{(p+1)^2(8p+5)}} + \sqrt[3]{(3p+2)-\sqrt{(p+1)^2(8p+5)}}=1$

Pour $3$p \ge -1$ , $3$\sqrt[3]{(3p+4)+\sqrt{(p+1)(p+4)^2}}+\sqrt[3]{(3p+4)-\sqrt{(p+1)(p+4)^2}}=2$

Voilà, juste pour la beauté des mathématiques.

Thomas G

Posted by: nada-top

salut,
je termine

on a déjà posé $n = \sqrt[3]{2+\sqrt{a}} +\sqrt[3]{2-\sqrt{a}}$
donc $n^3 = 3 \sqrt[3]{4-a}n + 4$ , et puisque $n \in \mathbb{N}*$ donc $n^3 \in \mathbb{N}*\; \Rightarrow \;\sqrt[3]{4-a}$ est un entier donc $(4-a)$ est un cube (soit 1 soit -1), et puisque a est (+) alors les valeurs possibles de a sont 5 ou 3 . aprés une petite vérification des 2 valeurs , la seule valeur possible de a est 5 .
$\fbox{a=5}$ j'espère.

PS : belles formules Nekros , dans ce cas p=0 et n=1 .

Posted by: aviateurpilot

3nk+4 est un entiers ,si k s'ecrit sous la forme a/(3n) avec a un entiers, (mais pas forcement k un entier)