Mathématiques - Question a propos des sous suites

Question a propos des sous suites
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: Chuck Nurris

bonsoir, j'ai une petite question a propos des suites extraites :

est-ce que pour que (Vn) soit une sous suite extraite d'une suite (Un), il faut obligatoirement que Vn=Uf(n) (ou f:N--->N strictement croissante)?
ou bien cela serait-il possible en choisissant des termes de la suite (Un) verifiants de certaines conditions? si c'est le cas vous etes priez d'inclure les conditions dans vos reponses.

merci d'avance !!

Posted by: Rain'

Oui à la première question, non à la deuxième

Posted by: legeniedesalpages

Salut,

Citation:

est-ce que pour que (Vn) soit une sous suite extraite d'une suite (Un), il faut obligatoirement que Vn=Uf(n) (ou f:N--->N strictement croissante)?

Oui c'est nécessaire (et suffisant), c'est en fait la définition d'une suite extraite.

Citation:

ou bien cela serait-il possible en choisissant des termes de la suite (Un) verifiants de certaines conditions?

ton choix sera fait par une fonction f:IN-->IN strictement croissante.
Dans tous les cas pour que ce soit une sous-suite, il faut que la définition d'une sous-suite soit vérifiée.

Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir Rain, désolé, je n'avais pas vu ton intervention. :)

Posted by: Rain'

Bonsoir :)

Pas de problèmes, en plus si tu prends la peine de détailler.

Posted by: ThSQ

Il faut que f soit strictement croissante et quelconque. On a eu en TD l'exo amusant :

Trouver une suite non convergente telle que $v_n = u_{k*n}$ converge pour tout k > 1

Posted by: SimonB

Autre problème sur les suites extraites :

Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite définie par une récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ ( avec f définie sur $\mathbb{R}$ et continue) et possède exactement p valeurs d'adhérence et est bornée (dans un e.v.n.), montrer que chaque suite $(u_{pn+k}$ , k variant entre 0 et (n-1), converge vers une valeur d'adhérence de la suite.

(Spécial pour ThSQ

)

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par SimonB

Autre problème sur les suites extraites :

Je pense que c'est faux sans ajouter d'hypothèses (dimension finie par exemple pour l'evn). Je construis un contrex-badoit et je reviens ;)

Sinon déjà avec cette hypothèse, il est clair que l'ensemble des va est stable (et de manière "bijective") par f.

Citation:

Posté par SimonB

(Spécial pour ThSQ

)

C'est trop d'honneur

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par ThSQ

Je pense que c'est faux sans ajouter d'hypothèses (dimension finie par exemple pour l'evn). Je construis un contrex-badoit et je reviens ;)

Ouais, il faut bien entendu lire "de dimension finie" (*se rattrape*)...

Posted by: prody-G

Citation:

Posté par ThSQ

Il faut que f soit strictement croissante et quelconque. On a eu en TD l'exo amusant :

Trouver une suite non convergente telle que $v_n = u_{k*n}$ converge pour tout k > 1

Est-ce que ça avance à quelquechose de dire (sous réserve que ce soit vrai mais ça reste une impression) que toutes les sous-suites de cette forme convergent vers une même limite ?

Si $(u_{2n})$ converge vers $L$ alors $\forall k\in\mathbb{N}*,u_{2kn}\to L$
Et si pour q impair $(u_{qn})$ converge vers L' alors $u_{2qn}\to L$ et $u_{2qn}\to L'$ donc L=L'.

On pourrait ajouter que $(u_{2n+1})$ ne converge pas sinon $(u_n)$ serait convergente.

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par ThSQ

Il faut que f soit strictement croissante et quelconque. On a eu en TD l'exo amusant :

Trouver une suite non convergente telle que $v_n = u_{k*n}$ converge pour tout k > 1

La suite caractéristique des nombres premiers ? (u_n = 0 sauf si n est premier)
On a alors v_2=v_3=...=0

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par SimonB

bien entendu

Bon je range mon contrex

(l'était pas bien bô en plus ...).

$(v_n^k) = (u_{pn+k})$

V = { $va_1, ..., va_p$ } les v.a.

Quelques faits $\pm$ triviaux :
i on peut se ramener à une suite dans un compact de IR^n
ii une suite y converge ssi elle a une seule va
iii une suite y a au moins une va

iv V est stable par f, et plus encore f permute les éléments de V (sinon on ne pourrait pas en avoir 'p')
v on peut prendre $va_{i+1} = f(va_{i})$
vi ou bien toutes les $(v_n^k)$ convergent ou bien aucune ne converge
vii ou les $(v_n^k)$ ont toutes le même nombre de v.a. (en rebouclant au bout de 'p' tours)

On peut entourer chaque $va_i$ par des boules disjointes de (même) diamètre arbitrairement petit.
En utilisant la C° uniforme et les boules uniformes et le fait iii, quitte à réduire le diamètre, on montre que $u_n$ reste dans ces boules à partir d'un certain rang.

Maintenant qu'on a planté le décor on peut attaquer !

Supposons que les $(v_n^k)$ aient > 1 va et donc se répartissent dans (au moins) deux des boules précédentes chacune.
Alors (faire un dessin avec des boules (et un sapin et une guirlande au besoin)) il y a deux suites extraites de deux $(v_n^k)$ (avec des k différentes) dans la même boule.
Et là blème car en itérant une des suites extraites elle saute d'une boule à l'autre et retombe dans même boule exactement tous les 'p'. Elle ne peut ex aucun cas rencontrer l'autre suite extraite.

Quelle est l'origine de ce superbe exo Simon ?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par ThSQ

Quelle est l'origine de ce superbe exo Simon ?

Un 'tit up si jamais Simon passe par là

Posted by: SimonB

Oh ! On me laisse fêter mon nouvel an à Barcelone ! ;)

En dehors de ça...
C'est ça, modulo la rédaction :D L'origine, c'est un sujet d'agrégation des années 70, puis indépendamment, un sujet de DM de mon prof cette année (une généralisation d'une question que je lui avais posée plus précisément...).

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par SimonB

Oh ! On me laisse fêter mon nouvel an à Barcelone ! ;)

En dehors de ça...
C'est ça, modulo la rédaction :D L'origine, c'est un sujet d'agrégation des années 70, puis indépendamment, un sujet de DM de mon prof cette année (une généralisation d'une question que je lui avais posée plus précisément...).

Ok merci. La rédaction .... oui il faut sans aucun doute plusieurs pages pour rédiger proprement (avec des dessins pour expliquer comment la suite tourne autour des v.a..). Le point le plus délicat est l'utilisation de la C° unif pour montrer que les va sont entourées par des boules de même diamétre je pense.