question mesure et integration

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Posted by: ClaireD

Bonjour je suis à l'université de Montréal(il est donc 22h15 chez moi et non pas 4h15 du matin...), je dois rendre un devoir en mesure et intégration mercredi et moi ainsi que d'autres personnes de mon groupe n'arrivons pas à faire une question.
Soit E inclus ou egal à R un ensemble.
Supposons que E est de mesure nulle.
Montrer qu'il existe une suite d'intervalles ouverts Jk=]ak,bk[ tels que:
tout point x de E appartient à un nombre infini de Jk et
somme(bk - ak) (sur k ) < +oo

Si vous avez la moindre idée de résolution n'hésitez pas à repondre à ce message.
Merci d'avance de vore aide.


Posted by: gol_di_grosso

l'intervalle ]x-1/k;x+1/k[ ça marche pas ?


Posted by: tize

Bonjour,
ça ne marche pas Gol_di_grosso, les intervalles ne doivent pas dépendre de x...de plus avec tes intervalles \sum(b_k-a_k)=+\infty.
Je pense qu'il s'agit d'une mesure régulière, non ?
Si c'est bien le cas, puisque E est de mesure nulle alors alors m(E)=\inf\limits_{E\subset O\;ouvert}m(O), et pour tout entier n, on peut choisir un de ces ouverts O_n tel que m(O_n)\leq\frac{1}{n^2}.
Ensuite il faudrait utiliser le fait que tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalles ouverts dijoints (procéder par classe d'équivalence avec les rationnels) pour décomposer O_n en union disjointe de ]a_{n,k};b_{n,k}[, du coup on a m(O_n)=\sum_k m(\]a_{n,k};b_{n,k}[\)\leq\frac{1}{n^2} et ne pas oublier qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable...


Posted by: ClaireD

Non parce que deja ta somme ne sera pas finis puisque la serie [1\k] est divergente et de plus Jk doit etre une suite d'intervalles ouverts donc si Jk =]x-(1\kcarré) , x+(1\kcarré) [ (par exemple) ta suite de Jk n'est dfinie qu'en fonction d'un seul x donc si x appartient a un nombre infini de Jk il n'est pas sur qu'un x' de E different de x appartienne aussi à un nombre infini de Jk;
De plus E est de mesure nulle n'implique pas que E est denombrable (contre exemple : cantor)
MAis merci quand meme pour ta suggestion


Posted by: tize

Citation:
Posté par ClaireD
Non parce que deja ta somme ne sera pas finis puisque la serie [1\k] est divergente et de plus Jk doit etre une suite d'intervalles ouverts donc si Jk =]x-(1\kcarré) , x+(1\kcarré) [ (par exemple) ta suite de Jk n'est dfinie qu'en fonction d'un seul x donc si x appartient a un nombre infini de Jk il n'est pas sur qu'un x' de E different de x appartienne aussi à un nombre infini de Jk;
De plus E est de mesure nulle n'implique pas que E est denombrable (contre exemple : cantor)
MAis merci quand meme pour ta suggestion

Bonjour ClaireD, je ne comprends pas exactement ce que tu reproches à mon indication...


Posted by: gol_di_grosso

ok dsl c'est pas encore pour moi


Posted by: yos

Salut Tize.
Si je te suis, tu obtiens plus que ce qui est demandé : la somme des diamètres de tes intervalles est arbitrairement petite (et pas seulement finie).
Mais, bon, qui peut le plus peut le moins!


Posted by: tize

Citation:
Posté par yos
Salut Tize.
Si je te suis, tu obtiens plus que ce qui est demandé : la somme des diamètres de tes intervalles est arbitrairement petite (et pas seulement finie).
Mais, bon, qui peut le plus peut le moins!

Salut Yos,
oui c'est bien ça, c'est vrai que cela a un peu un côté marteau-pilon, peut être y a-t-il une méthode moins directe (plus constructive) qui permettrait de répondre sans aller plus loin que ce qui est demandé...??


Posted by: yos

J'ai pas le temps de me replonger dans ces trucs. Je me demande tout de même si l'objet de la question est pas d'établir la propriété de régularité de la mesure de Lebesgue.


Posted by: tize

Ah oui d'accord...j'aurais dû y penser...dans ce cas c'est moins facile...










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