Question matricielle

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Posted by: Philippe

Voila ma question

A matrice p*p
B matrice p*n
C matrice n*n
D matrice n*p

En supposant que tous ce qui doit etre inversible l'est, je dois montrer
que :

(A+BCD)**-1 = A**-1 - A**-1B(C**-1+DA**-1B)**-1DA**-1

Je dois avouer que je ne sais pas comment m'y prendre.






Posted by: Romain Mouton

Philippe wrote:
> Voila ma question
>
> A matrice p*p
> B matrice p*n
> C matrice n*n
> D matrice n*p
>
> En supposant que tous ce qui doit etre inversible l'est, je dois montrer
> que :
>
> (A+BCD)**-1 = A**-1 - A**-1B(C**-1+DA**-1B)**-1DA**-1
>
> Je dois avouer que je ne sais pas comment m'y prendre.

A vue de nez, multiplie (A+BCD) par le second membre de ton égalité,
trouve 1, et conclue.

--
Romain Mouton
« La culture, c'est comme l'amour. Il faut y aller par petits coups au
début pour bien en jouir plus tard. » P.Desproges




Posted by: Philippe

Romain Mouton wrote:

> Philippe wrote:
> > Voila ma question
> >
> > A matrice p*p
> > B matrice p*n
> > C matrice n*n
> > D matrice n*p
> >
> > En supposant que tous ce qui doit etre inversible l'est, je dois montrer
> > que :
> >
> > (A+BCD)**-1 = A**-1 - A**-1B(C**-1+DA**-1B)**-1DA**-1
> >
> > Je dois avouer que je ne sais pas comment m'y prendre.
>
> A vue de nez, multiplie (A+BCD) par le second membre de ton égalité,
> trouve 1, et conclue.
>
> --
> Romain Mouton
> « La culture, c'est comme l'amour. Il faut y aller par petits coups au
> début pour bien en jouir plus tard. » P.Desproges

J'ai bien essaye mais si c'etait aussi simple, je n'aurais pas pose la
question. Essayes et dis-moi si tu y arrives





Posted by: Nicolas Richard

Philippe a écrit :
> Je dois avouer que je ne sais pas comment m'y prendre.

Je vais noter A* l'inverse de A pour simplifier la notation

Calculons donc:
(A+BCD)(A* - A*B(C*+DA*B)*DA*)
= 1 - B(C*+DA*B)*DA* + BCDA* - BCDA*B(C*+DA*B)*DA*

Puis par mises en évidences:

= 1 + B(C - (CDA*B + 1)(C*+DA*B)*) DA*

Reste à montrer que C = (CDA*B + 1)(C*+DA*B)*
càd :
C (C*+DA*B) = (CDA*B + 1)
Donc
1 + CDA*B = CDA*B + 1

Pas trop dur, mais il faut pas aller se perdre dans des calculs

--
Nico.











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