Question sur les matrices et les vecteurs

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Posted by: totor

Bonjour !

Je voudrai savoir si quand on a v^TAv, cad
<br /> <br /> [u1 + u2, v1 + v2]<br /> \begin{pmatrix}<br /> a &amp; b\\<br /> c &amp; d<br /> \end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> u1 + u2\\<br /> v1 + v2<br /> \end{pmatrix}<br />

est ce que ca donne le vecteur (1) :
<br /> [u1a + u2a + v1c + v2c , u1b + u2b + v1d + v2d] \begin{pmatrix}<br /> u1 + u2\\<br /> v1 + v2<br /> \end{pmatrix}<br />

ou est ce que avant il faut faire (2):
<br /> [u1, v1]<br /> \begin{pmatrix}<br /> a &amp; b\\<br /> c &amp; d<br /> \end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> u1\\<br /> v1<br /> \end{pmatrix}+ [u2, v2]<br /> \begin{pmatrix}<br /> a &amp; b\\<br /> c &amp; d<br /> \end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br /> u2\\<br /> v2<br /> \end{pmatrix}<br />

et ensuite développer ....???? Car ca ne donne pas la meme chose.

Merci beaucoup par avance


Posted by: fahr451

le premier calcul est correct

en posant X1 = colonne( u1,v1) et X2 = colonne (u2,v2)

t(X1+X2)A(X1+X2) = 4 termes =
tX1AX1+tX2AX1 +tX1AX2 +tX2AX2

alors que ds ton deuxième calcul tu n'en prends que deux.


Posted by: totor

Merci !


Posted by: totor

En fait, j'aurais encore une question par rapport à ma premiere question si c'est possible .... J'aimerai savoir si on a le meme résultat avec des opérateurs différentiels, par exemple :

<br /> \begin{pmatrix}<br /> u_1 + \frac{\partial}{\partial_x}, u_2 + \frac{\partial}{\partial_y}<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> a &amp; b \\<br /> c &amp; d<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> u_1 + \frac{\partial}{\partial_x}\\<br /> u_2 + \frac{\partial}{\partial_y}<br /> \end{pmatrix}<br />

...est ce que ça donne (en considérant que a,b,c et d dépendent de x et y) :
<br /> \begin{pmatrix}<br /> u_1a + \frac{\partial a }{\partial_x} + u_2c + \frac{\partial c}{\partial_y}, u_1b + \frac{\partial b }{\partial_x} + u_2d + \frac{\partial d}{\partial_y}<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> u_1 + \frac{\partial}{\partial_x}\\<br /> u_2 + \frac{\partial}{\partial_y}<br /> \end{pmatrix}<br />

Soit en développant :
<br /> \begin{pmatrix}<br /> u_1^2a + u1\frac{\partial a }{\partial_x} + u_1u_2c + u1\frac{\partial c}{\partial_y} + u_1\frac{\partial a }{\partial_x} + \frac{\partial^2 a}{\partial_x^2} + u_2\frac{\partial c}{\partial_x} + \frac{\partial^2 c }{\partial_x \partial y} + \\<br /> u_1u_2b + u_2\frac{\partial b }{\partial_x} + u_2^2d + u_2\frac{\partial d }{\partial_y} + u_1\frac{\partial b }{\partial_y} + \frac{\partial^2 b }{\partial x \partial_y} +u_2\frac{\partial d }{\partial_y} + \frac{\partial^2 d }{\partial_y^2} <br /> \end{pmatrix}<br />

Merci encore :)


Posted by: totor

up ........


Posted by: totor

personne ...?


Posted by: BQss

Citation:
Posté par totor
personne ...?

oui c'est juste.


Posted by: BQss

Au passage je te rappelle que en generale b=d pour que ta matrice soit symetrique si non ton application bilineaire associé n'est pas symetrique et c'est dans ce cadre la qu'on utilise v^TAv, c'est la forme quadratique associé.

Dans tout les cas quel soit symetrique ou pas tu as le coefficient a(i,j) de A qui est l'image des vecteur (ei,ej) de sorte que v^TAu=somme uivjf(ei,ej) avec ui et vj respectivement les ieme et vieme coordonnée de u et v.
De plus, image de (ei,ej)= image de (ej,ei) si la matrice est symetrique.


Posted by: totor

Merci BQss pour ta réponse :)










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