Mathématiques - question existentielle (dénombrement)

question existentielle (dénombrement)
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Posted by: kimiferrari

bonjour, je suis complètement perdu et je cherche un peu d'aide.
On considère tous les nombres de 6 chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres de 1 à 6.

1) Calculer la somme de ces nombres
2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.
3) Montrer que l'un quelconque de ces nombres n'est ni premier ni carré
parfait.
Si quelqu'un pouvait m'aider à commencer, j'en serai ravi. merci

Posted by: kimiferrari

juste le nombre de zéros dans le produit m'aiderait bien merci

Posted by: informix

1ère question

un nombre vérifiant les conditions de l'exercice s'écrit forcément sous la forme:

$a_5.10^5 + a_4.10^4 + ... + a_0$

où

$a_i$ prend 1,2,3,4,5,6

On sait qu'il y a 6! nombres, soit 720 nombres.

Leur somme peut s'écrit :

S = sum(i=1..720;a_5.10^5 + a_4.10^4 + ... + a_0)
= $10^5.(5!.1+5!.2+5!.3+5!.4+5!.5+5!.6)$ +
$10^4.(5!.1+5!.2+5!.3+5!.4+5!.5+5!.6)$ +
....

Soit :
$S = 5!(1+2+3+4+5+6)(10^5+10^4+10^3+10^2+10^1+10^0)$
= 279999720

j'espère que c'est correct :)

je viens de manger trop de viande !!! et ma tête tourne un peu lol

a+

Posted by: alben

Bonjour,
Pour le nombre de zéros, il faut s'interroger sur la façon pour que deux nombres ne comportant que des chiffres de 1 à 6 donne un produit se terminant par 0 (a mon avis ça devrait vouloir dire qu'ils finissent par 2 et 5). Il faut aussi se poser la même question pour ceux qui se terminent par 00, puis 000 etc.
Le dénombrement n'est pas très difficile dans chaque cas mais attention le cas 00 inclut le cas 0 (l'astuce consiste à considérer que si les conditions du double zéro sont remplies, ça ne rajoute qu'un seul zéro)

Posted by: kimiferrari

j'ai bien compris comment il faut séparer les cas, mais il y en aurait bien trop à dénombrer! si tu pouvais m'expliquer sur les premiers nombres, ce serait bien!

Posted by: kimiferrari

pour la dernière question, je me suis dit que les nombres finissant par 2 ne peuvent pas être des carrés parfaits et bien sur ne sont pas premiers. est-ce que cela est juste et répond à la question ?

Posted by: alben

Il faut montrer

qu'aucun des nombres obtenu ne peut être premier (ils sont multiples de 3)
et qu'aucun n'est un carré parfait

Posted by: kimiferrari

les nombres finissant par 2 ne sont ni premiers ni carré parfait, cela ne suffitt pas pour répondre ?

Posted by: kimiferrari

oulà je crois que je fais erreur oui. Je serai bien heureux d'avoir une aide pour le nombre de zéros et pour montrer le fait qu'il ne soit ni premier ni carré parfait

Posted by: nodgim

Pour le carré parfait: tous les nombres ont 21 pour somme de leur chiffres. C'est divisible par 3, mais pas par 9. Donc ni premiers ni carrés parfaits!

Posted by: nodgim

Pour le nombre de zéros: combien y a t il de nombres qui se terminent par 5 ?
Sont ils plus ou moins nombreux que les nombres qui se terminent par un chiffre pair?
Conclure

Posted by: kimiferrari

720/6 soit 120 nombres
il y a de plus 360 pairs
donc les 5 sont moins nombreux ==> quelle est la conclusion que je ne vois pas ?

Posted by: nodgim

Citation:

Posté par kimiferrari

720/6 soit 120 nombres
il y a de plus 360 pairs
donc les 5 sont moins nombreux ==> quelle est la conclusion que je ne vois pas ?

Tous les 5 donneront un 0 (seuls les 5 donnent un zéro). Il y aura autant de zéros dans le produit que de nombres qui se terminent par 5.

Posted by: kimiferrari

tu veux dire que la seule possibilité de former un 0 est de multiplier 5 par un pair et c'est le cas. On peut donc utiliser ton raisonnement dans une copie pour dire qu'il y a 120 zéros ?

Posted by: kimiferrari

ça me parait bizarre car lorsque je tente avec des plus petits nombres je ne retrouve pas ta conjecture

Posted by: nodgim

Par exemple?

Posted by: nuage

Salut,
il ne faut pas oublier que les nombres qui se terminent par 25 donnent 2 zéros, ceux qui se terminent par 125 en donnent 3 etc...

Posted by: kimiferrari

ça ne m'aide pas trop tout cela : qqn aurait-il une donnée fiable pour m'aider ?

Posted by: nodgim

Nuage vient de faire une remarque fort juste sur les 5² et 5^3 , qui complète ce que je disais. Avec cela, il ne reste plus qu'à faire le total.
120 se terminent par 5: 120 zéros
24, parmi les 120, se terminent par 25: 24 zéros de plus.
6, parmi les 24, se terminent par 125: 6 zéros de plus.

Il n'y a pas de 5^4. Donc, je dirais 150 zéros.

Posted by: informix

On a trouvé : 158 zéros à la fin du produit !!! :)

Posted by: alben

Citation:

Posté par informix

On a trouvé : 158 zéros à la fin du produit !!! :)

Ah bon moi je trouve 166 :
120 avec au moins un zero (......5)->120x1
24 avec au moins deux zeros (....25)->24x1 (car inclus dans le 1er cas)
6 avec au moins trois zéro (...125) ->6x1 (car inclus dans les deux 1er cas)
6 avec au moins trois zéro (...625) ->6x1 (car inclus dans les deux 1er cas)
2 avec au moins 4 zéros (..3125)->2x1 (car inclus dans les trois 1er cas)
aucun avec 5 ou 6 zéros
soit au total 120+24+6+6+2 =158
Par ailleurs, on a déjà 120 nombres qui se terminent par 2 et autant par 4, ce qui garantit que le produit contient une puissance de 2 supérieure à 360, donc suffisante pour transformer ces puissance de 5 en 0

edit : au temps pour moi c'est bien 158 (j'ai corrigé le texte ci-dessus)

Posted by: kimiferrari

d'où viennent 120, 24... ?

Posted by: informix

Bonh, pour la suite de la résolution de l'exercice, pour montrer que les nombres ne sont pas des carrés parfaits, il suffit de montrer que tous ces nombres sont divisibles un nombre impaire de fois par un nombre premier lol

bonh, en réalité, il faut se rappeler de la cause qui a fait que ces nombres ne sont pas premiers : divisibilité par 3.

un quelqu'un qui se bloque sur la suite de la question, essaie bêtement de diviser un nombre N (constitué de 1,2,3,4,5,6 comme l'indique l'exercice):

On aura:

$N = (10^5-1).a_1 + (10^4-1).a_2 + (10^3-1).a_3 + (10^2-1).a_4 + (10^1-1).a_5 + (a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)$

En divisant par 3, on trouve:
$N/3 = 33333.a_1 + 3333.a_2 + 333.a_3 + 33.a_4 + 3.a_5 + 7$

Donc N est divisible par 3 et non divisible par 3².

ça devient immédiat...

Pour suivre la discussion qu'on a faite à propos de ce sujet, cliquer sur ce lien: Solution

Merci pour l'exercice! il est original!