Mathématiques - Question bête sur la trigonalisation

Question bête sur la trigonalisation
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Posted by: BrotherKid

Lorsqu'on trigonalise une matrice A, on essaie d'obtenir une forme de Jordan.
On choisit à un moment une famille de vecteurs e(1) .....e(i)... e(n) définis par e(i-1)= (A-xI).e(i) où x est une valeur propre multiple de A. (J'espère que celui qui lit ça me comprend).
Je ne pige toujours pas pourquoi cette famille de vecteurs est une base de Ker[(A-xI)^n]...
Si quelqu'un peut m'expliquer...
Merci
(cours de maths prépa PSI)

Posted by: augusto

D'abord la trigonalisation n'est pas au programme de la MPSI mais de la MP et de plus la forme de Jordan est hors programme. Ce résultat provient du lemme des noyaux qui indique que l'espace vectoriel est somme direct des sous espaces propres associés aux valeurs propres du spectre de l'endomorphisme considéré. La forme de Jordan est une méthode pour trigonaliser une matrice et la démonstration n'a rien de très technique (récurrence).

Posted by: Antho07

Je vais tente d'expliqué comment fonctionne la trigonalisation.

Prenons une matrice A appartenant a Mn(K) dont le polynome minimal est scindé(sinon ce n'est pas trigonalisable).
Le polynome minimal peut alors s'ecrire.

$P(X)=(X-\lambda_{1})^{\alpha_{1}} \times \ldots \times (X-\lambda_{n})^{\alpha_{n}}$ .

Comme on a P(A)=0 et que les polynomes $(X-\lambda_{i})^{\alpha_{i}}$ sont premier entre eux deux à deux. Le lemme des noyaux nous dit que

$E= ker ((A-\lambda_{1}Id)^{\alpha_{1}}) \oplus \ldots \oplus ker((A-\lambda_{n}Id)^{\alpha_{n}})$

On notera $N_{\lambda_{i}}=ker((A-\lambda_{i}Id)^{\alpha_{i})$ le sous espace caracteristique associé a la valeur propre $\lambda_{i}$
Ces sous espaces sont stables par A.
On sait alors que $A_{|N_{\lambda_{i}}$ est trigonalisable.(polynome minimal divise le polynome minimal de A donc scindé CQFD)

On alors mis la matrice sous forme d'une matrice diagonale par bloc,chaque bloc etant triangulaire.

Par ailleur chaque bloc peut s'ecrire sous la forme D+N.
D etant diagonalisable et N nilpotent.

Pour expliquer la reduction de Jordan, il suffit alors de se consacrer aux endomorphisme nilpotent.
On rajoutera le D apres...

Soit alors u, un endomorphisme nilpotent d'indice r.
cela signifie que pour tout x de E, $u^{r}(x)=0$

alors pour tout x tels que $u^{r-1}(x)\neq 0$ .
La famille $(x,u(x),u^{2}(x),\ldots,u^{r-1}(x))$ est libre.

Pour le montrer, tu peux le faire par récurrence:
tu prend une combinaison linaire nulle.
et tu montre que si les i premiers scalaires sont nuls alors le i+1 eme aussi.
initialisation : applique $u^{r-1}$ et tu obtiendra que le premier est nul.
heredite: applique la bonne puissance de u

Ensuite,
si u est nilpotent d'indice r.
Les inclusions
$\{0\} \subset ker u \subset ker u^{2} \subset \ldots \subset ker u^{r-1} \subset ker u^{r} =E$ sont strcites (aucun ne sont egales)

On peut alors montrer qu'il existe des sous espaces vectoriels $G_{1},..,G_{r}$ qui vérifient.

1) $Ker u^{i+1}=Ker u^{i} \oplus G_{i}$
2) $u(G_{i}) \subset G_{i-1}$
3) $u_{|G_{i}}$ est injectif

Cela se montre par récurrence décroissante mais un petit eu long...., j'ai la flemme

Une fois que l'on a cela on peut montrer grace a l'injectivite de u sur Gi qu'une famille libre de $G_{i}$ sera libre dans $G_{i-1}$

Ainsi, en écrivant $E=G_{1} \oplus G_{2} \oplus \ldots \oplus G_{r}$

On prend une base $(e_{r,1},\ldots,e_{r,p_{r}})$ de $G_{r}$ .
on obtient alors en appliquant u , une famille libre $(u(e_{r,1}),\ldots,u(e_{r,p_{r}}))$ que l'on complete en une base de $G_{i-1}$ .
et ainsi de suite on applique u on obtient un truc libre dans Gr-2 on compelete etc....

On obtient une base de E, en reorganisant les vecteurs correctement,
on obtient un base dans laquelle la matrice est sous forme de bloc de jordan a diagonale nulle(car la matrice est nilpotente)

faudrait faire une immense matrice en Tex pour expliquer, si quelqu'un d'autre peut le faire, je maitrise pas tellement l'ecriture des matrices.....

Revenons maintenant à un endomorphisme trigonalisabe, on le met sous forme diagonale par bloc triangulaire.

On decompose chaque bloc en D+N.
(le D est la diagonale $\lambda_{i} Id$ , le N le reste (triangulaire a diagonale nulle)
On sait qu'on peut mettre N sous forme de bloc de jordan a diagonale nulle (ce que j'ai essaye d'explique au dessus).
on rajoute le D

on fait comme sa avec tous les blocs et on a notre reduite de Jordan.

En esperant avoir été le plus clair possible et t'avoir aidé

Posted by: Antho07

Je v essaye de faire un dessin comme je pe pour expliquer lorganisation de la base.

on a donc E comme somme directe des Gi ( $\rightarrow$ designera une injection)
$ \begin{array} G_{r} & &G_{r-1}& &\ldots&&G_{1} \\ &&&&&& \\ e_{r,1}&\rightarrow&u(e_{r,1})&\rightarrow&\ldots&\rightarrow& u^{r-1}(e_{r,1}) \\ e_{r,2}&\rightarrow&u(e_{r,2}) &\rightarrow&\ldots&\rightarrow&u^{r-1}(e_{r,2})\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ e_{r,p_{r}}&\rightarrow &u(e_{r,p_{r}})&\rightarrow&\ldots&\rightarrow&u^{r-1}(e_{r,p_{r}})\\ &&e_{r-1,1}&\rightarrow& \ldots&\rightarrow&u^{r-2}(e_{r-1,1}) \\ &&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ &&e_{r-1,p_{r-1}}&\rightarrow&\ldots&\rightarrow&u^{r-2}(e_{r-1,p_{r-1}}) \\ &&&&&&\vdots\\ \end{array} $
on notera Bi la famille forme des vecteurs de la ligne i pri de la droite vers la gauche

alors, la matrice de u dans la base (B1,B2,...,Bn) est de la forme voulu.
en effet, les B1,..,Bn sont stables (c tres mal dit d'accord)
et chaque Bi nous donne un bloc de jordan(assez facil a voir)

Voila si quelque veut completer cette explication

Posted by: BrotherKid

Merci Antho

Je vais reprendre tout ca calmement...

Posted by: Antho07

J'espere ne pas avoir dit de betise
Cela ne se voit pas en spé jordan normalement?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par Antho07

Cela ne se voit pas en spé jordan normalement?

Totalement HP mais c'est traité en détails dans le Gourdon.

Posted by: Antho07

ok mon premier post utilise quand meme certains resultat comme la decomposition de jordan dunford. C'est au programme en revanche cela?
Ainsi que les projecteurs spectraux?