Bonjour,
Je viens de commencer les cours sur les intégrales de lebeague, et j'ai
beau relire le cours, il y a quelques points que je ne comprends pas bien.
Dans le cours, on dit que toutes fonctions qui est Riemann intégrable
est lebesgue intégrable. Or toutes les fonctions continues par exemple
sont Riemann intégrables, donc lebesgue intégrables non? Dans ce cas, je
ne comprends pas pourquoi on a tendance à procéder par majoration pour
montrer qu'elle est intégrable.
Par exemple, dans un exo de td, on doit montrer que :
Pour tout x>0, t^(x-1)*exp(-t) est intégable sur ]0,,+inf[
il commence par différiencer deux cas, chui d'accord :
avec Ki[A](t) = fct indicatrice qui vaut 1 si t appartient à A, 0 sinon
si 0<x<=1
il obtient cette majoration
|t^(x-1)*exp(-t)| <= t^(x-1)*Ki]0,1[(t) + exp(-t)*Ki]1,+inf[(t) presque
partout.
pis il calcule les intégrales et montrent qu'elles convergent.
si x>1
|t^(x-1)*exp(-t)| <= Ki]0,1[(t) + t^(x-1)*exp(-t)*Ki[1,A](t) + Ki[A,
+inf[(t)*exp(-t/2)
avec A une cste suffisament grande pr que t>=A => (x-1)ln(t) <= t/2
et la je ne comprends pas à quoi sert la cst A, car on aurait pu majorer
sans la cst A.
Ensuite il montre que la somme est intégrable comme somme de fcts
intégrables.
- Ki]0,1[(t) est lebesgue intégrable.
- t^(x-1)*exp(-t) est continue, donc Riemann intégrable sur [1,A] =>
t^(x-1)*exp(-t)*Ki[1,A](t) est lebesgue intégrable (pourquoi il se sert
de Riemann la sur [1,A] et pas directement sur l'intervalle ]0, +inf[)
- exp(-t/2) est continue, donc local intégrable sur ]A,+inf[, et son
intégrale généralisée est = 2exp(-A/2) est CV
=> Ki[A, +inf[(t)*exp(-t/2) est lebesgue intégrable. (là je ne comprends
pas pourquoi il calcule l'intégrale pour montrer qu'elle cv, et pas
avant ou il dit seulement qu'elle est Riemann intégrable et par suite
Lebesgue intégrable?
Donc merci d'avance à celui qui m'apportera la lumière dans l'obscurité
où est plongé ma pensée! Et merci à tous ceux qui auront eu la patience
de tout lire!
--
Pascal
Posted by: Maxi
> est lebesgue intégrable. Or toutes les fonctions continues par exemple
> sont Riemann intégrables, donc lebesgue intégrables non?
Toutes les fonctions continues *sur un segment*.
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Maxi
Posted by: Pascal
Maxi wrote:
> Toutes les fonctions continues *sur un segment*.
Ah! merci, j'avais pas fait attention à ce point. Mais il reste toujours
la question de la constante A.
--
Pascal