Mathématiques - Quaternions

Quaternions
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Posted by: Monsieur23

Bonjour,

Je suis en MPSI, et j'ai un DL à faire sur les quaternions ...
Je bloque sur une cette question :

Citation:

Soit $\mathbb{K}$ un corps (pas forcément commutatif), dont le centre contient $\mathbb{R}$ , et qui soit également un espace vectoriel de dimension ﬁnie sur $\mathbb{R}$ . On suppose que $\mathbb{K} \neq \mathbb{R}$ , et on se ﬁxe $a \in \mathbb{K} - \mathbb{R}$ .
1. Soit $n = dim \mathbb{K}$ . Démontrer que les vecteurs $1, a, a^2 , . . . , a^n$ sont liés. En déduire que a est racine d’un polynôme à coeﬃcients réels de degré n.

2. Démontrer que a est racine d’un polynôme à coeﬃcients réels, irréductible sur $\mathbb{R}$ , de degré 2.

J'ai fait la première question, en disant que le cardinal de la famille ( 1, a, ... a^n ) était n+1, et la dimension de \mathbb{K} n, donc la famille est liée.

Donc $\exists i \in \mathbb{N}, \exists ( \alpha_0, ... ,\alpha_n ) , a^i = \sum_{k=0,k \neq i}^n \qquad \alpha_k \times a^k$

Donc a est solution du polynôme que j'ai la flemme d'écrire ( c'est long le Latex ).

En revanche, pour la question suivante, je ne vois pas du tout comment commencer ...

Si vous voulez voir le sujet en entier, il est disponible ici : http://perso.orange.fr/marc.lorenzi...L/2006_dl10.pdf

Merci beaucoup si vous pouvez m'aider ( et aussi si vous ne pouvez pas ),

Mr.23

Posted by: tize

Bonjour,
si tu as montrer que a est racine d'un polynôme à coefficients réels P alors tu peux en déduire que le polynôme peut s'écrire comme produit de de polynômes de degré inférieur ou égal à 2 puisque les les irréductibles de R[X] sont ceux là même et comme on est dans un corps cela veut dire que l'un au moins de ces polynômes annule 'a'.
Ensuite le polynôme qui annule 'a' ne peut être de degré 1 car sinon cela veut dire que $a\in\mathbb{R}$ ...

Posted by: buzard

tu est sur la bonne voie, il te suffis te te rappeler ce que des matheux comme Gauss ou d'Alembert ont énnoncé sur la décomposition en polynome irreductible, et grace à la non-nulité de la caractéristique réel tu peux conclure.

bonne continuation

Posted by: Monsieur23

Hmmm, moui, j'ai oublié la "réalité" des coefficients ...

Je vais aller y réfléchir !

Merci beaucoup