Mathématiques - puissance d'une matrice

puissance d'une matrice
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Posted by: MacManus

Bonjour à tous !

J'ai oublié la méthode pour faire ce genre de calcul.

Soit la matrice de $M_6(\mathbb{R})$ suivante :

$\large A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

J'aimerais calculer $A^{10001010}$

Je pense qu'il faut utiliser (donc à priori calculer) le polynôme caractéristique de cette matrice. On remarque 2 blocs (4x4 et 2x2) dans cette matrice A.
Je dois alors calculer 2 polynômes caractéristiques n'est - ce pas ?

...et que faire ensuite ?

Merci pour vos précisions!

Posted by: fatal_error

Hello,

en tatonnant, je trouve $A^7=A$

Posted by: MacManus

Oui je confirme ton calcul (avec Scilab)
Je trouve d'ailleurs que $A^{10001010} = I_6$ (matrice identité)

mais le problème demeurre...(sans scilab)

Merci fatal_error

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par MacManus

Oui je confirme ton calcul (avec Scilab)
Je trouve d'ailleurs que $A^{10001010} = I_6$ (matrice identité)

mais le problème demeurre...(sans scilab)

Merci fatal_error

Il faut voir si la matrice est diagnolisable. Alors si c'est le cas :

$A^{10001010} = P.D^{10001010}.P^{-1}$

où $D$ est une matrice diagonale.

Posted by: MacManus

Je viens de voir que si $A^7 = A$ alors un polynôme annulateur de A est : $X^7 - X = X(X^6 - 1)$

On en déduit que, puisque A n'est pas la matrice nulle : $X^6 - 1$ est aussi un polynôme annulateur de A.
matriciellement : $A^6 = I_6$
or : 10001010 est un multiple de 6
d'où $A^{10001010} = I_6$

Posted by: MacManus

Oui Clembou tu as entièrement raison !
Je vais donc calculer le polynôme caractéristique

Je pense qu'il y a une astuce pour calculer le polynôme caractéristique du bloc 4x4 de A... je ne sais plus très bien

Posted by: leon1789

Calculer le polynôme caractéristique, diagonaliser (trigonaliser ?), quelle drole d'idée ! C'est une matrice de permutation !
Regarder comment elle opère sur les éléments de la base canonique : elle fait une permutation des vecteurs, à savoir (135246) . Ensuite, le problème revient à calculer une puissance de cette permutation (qui est d'ordre 7... ce qui retombe sur ce qui a été annoncé au-dessus) : à la main, sans aucun problème une fois 10001010 mod 7 calculé via $10001010 = 1000^2+1000+10 = 1000*1001+10 = 3 \ mod 7$ (car 1001=7*11*13, classique pour ceux qui font des preuves par 1001 si je peux dire)...

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par MacManus

Oui Clembou tu as entièrement raison !
Je vais donc calculer le polynôme caractéristique

Je pense qu'il y a une astuce pour calculer le polynôme caractéristique du bloc 4x4 de A... je ne sais plus très bien

En fait, tu as :

$P_A = (1-x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -x & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -x & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & -x & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -x \end{vmatrix}$

Posted by: MacManus

Oui je suis d'accord avec vous deux!
Effectivement leon1789, j'ai complètement oublié qu'il s'agissait d'une matrice de permutation....merci de me rafraîchir la mémoire

Posted by: leon1789

ok, mais je ne trouve pas identité...

mais une matrice formée par les blocs (0,1 // 1,0)

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par leon1789

ok, mais je ne trouve pas identité...

mais une matrice formée par les blocs (0,1 // 1,0)

Là leon, je ne suis pas d'accord car $A^{10001010} = I_6$ . Si tu me dis que c'est une matrice de permuation, on peut voir cette permutation comme :

$5$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$

Quel est l'ordre de cette permutation ?

Posted by: leon1789

ok, j'ai compris.... Faut pas confondre 7 et 6 ! La permutation est (135246) est d'ordre 6 (et pas 7 !!! grrrrrr). Je reprends :
$10001010 = 0 \ mod 2$ et $10001010 = 0 \ mod 3$ (somme des chiffres) donc $10001010 = 0 \ mod 6$ , donc $A^{10001010} = Id$

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par Clembou

Quel est l'ordre de cette permutation ?

Aie aie, pas sur la tête, aie ! baf, 6 ou 7, c'est pareil non ?

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par leon1789

ok, j'ai compris.... Faut pas confondre 7 et 6 ! La permutation est (135246) est d'ordre 6 (et pas 7 !!! grrrrrr). Je reprends :
$10001010 = 0 \ mod 2$ et $10001010 = 0 \ mod 3$ (somme des chiffres) donc $10001010 = 0 \ mod 6$ , donc $A^10001010 = Id$

Je confirme mais il fallait peut-être laisser chercher MacManus

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par leon1789

Aie aie, pas sur la tête, aie ! baf, 6 ou 7, c'est pareil non ?

$A^7 = A$ donc $A^6 = I$ . De toute façon, il faut utiliser le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre d'un élément est un multiple de l'ordre du groupe auquel il appartient donc soit 1, 2, 3 ou 6 (et pas 7

)

Posted by: MacManus

Oui je suis d'accord avec tout ce que vous dites. (permutation - ordre - Lagrange...) c'est Ok !

Merci à vous

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par Clembou

De toute façon, il faut utiliser le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre d'un élément est un multiple de l'ordre du groupe auquel il appartient donc soit 1, 2, 3 ou 6 (et pas 7

)

L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe...
Mais là, nul besoin de théorème de Lagrange : $A^6=Id$ (l'ordre d'un 6-cycle est 6 évidemment) implique $A^{6k}=Id^k =Id$