Mathématiques - puissance d’un nombre premier

puissance d’un nombre premier
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Posted by: aviateurpilot

salut

Trouver tous les entiers n > 1 pour lesquels la somme $2^2 + 3^2 +....+ n^2$ est
une puissance d’un nombre premier.

merci d'avonces pour vos réponces

Posted by: aviateurpilot

Posted by: aviateurpilot

personne ne veut esquiser une reponse ?

Posted by: yos

Je dirais qu'il n'y a pas de solution (puissance non triviale d'un nombre premier).

Posted by: aviateurpilot

pour koi???

Posted by: hero_h_2zef

On a déja des solutions simples telles que n = 3 , n = 4 et n = 7 ( la somme considérée vaut alors respectivement 13 , 29 , 139 qui sont directement premiers )

Posted by: aviateurpilot

oui hero_h_2zef

Posted by: yos

J'avais précisé "puissance non triviale d'un nombre premier". Car je pensais que c'était sous-entendu.

Posted by: aviateurpilot

yos $2^2+3^2+.....+n^2=\frac{(n-1)(2n^2+5n+6)}{6}$

à part un facteur 2 et un facteur 3, le nombre premier p doit etre le
seul qui intervient dans la décomposition en facteurs premiers du produit
$(n-1)(2n^2+5n+6)$
je suis bloquer ici

Posted by: yos

Le produit A=(n-1)(2n²+5n+6) doit être égal à $6p^k$ où p est un nombre premier et k un entier >1.
Ce qui fait que n-1 est égal à 1, ou 2, ou 3, ou 6, ou encore $p^i$ , $2p^i$ , $3p^i$ , $6p^i$ .
Donc n= 2,3,4,7, ou $p^i+1$ ...
Le cas n=2 donne A=6X2², c'est donc une solution (que je n'ai pas vue hier).
Je crois que les autres cas ne donnent rien : à regarder en détail.

Posted by: aviateurpilot

j'ai toruvé quelque chose:
on a 2n²+5n+6=(n-1)(2n+7)+13
pgcd(n-1,2n²+5n+6)=pgcd(n-1,13)
si n=1 modulo 13
alors il existe i de N* 2²+3²+..+n²=13^i

donc S={1+13K / k>0 de N}