proposition fermat

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Posted by: ptite-mary

voila le but de l'exercice est de démontrer la propriété suivante:
Soit p un nombre premier arbitraire. il existe deux entiers naturels x et y tels que p = x² + 3y² si et seulement si p congru a 1 mod 3 ou p = 3

On a l'anneaux A = Z[i\sqrt 3] et B = Z[j] où i²=-1 et j = (-1+i\sqrt 3 )/2
étant donné un élément a=x+iy\sqrt 3 de A ou de B on note \bar a = x - iy\sqrt 3 son conjugué et N(a)=a\bar a sa norme

j'ai démontré que A n'était pas factoriel et que B était euclidien.
Puis que (-3/p) = + ou - 1 si et seulement si p congru a 1 mod 3

et que pour p nombre premier impair différent de 3 j'ai démontré que soit p reste irréductible dans B soit il s'écri p = G\bar G , pour G un élément irréductible de B

il faut que je démontre que si (-3/p)= + ou -1 alors p n'est pas premier dans B et que j'en déduise que p sécrit sous la forme p = a\bar a où a € A
Puis on suppose qu'il existe deux entiers naturels x et y tels que p = x² + 3y²
il faut montrer que (-3/p) = + ou - 1
et enfin démontrer la proposition de fermat...

pouvez vous me donnez quelques indications svp..
merci


Posted by: yos

Bonjour.
Citation:
Posté par ptite-mary
(-3/p) = + ou - 1 si et seulement si p congru a 1 mod 3

(-3/p) ne prend que les deux valeurs 1 et -1 donc je trouve bizarre ton équivalence.


Posted by: ptite-mary

pardon c'est une erreur de ma part en effet
(-3/1) = +1 si et seulement si p congru a 1 mod 3


Posted by: yos

Si (-3/p)=1, alors -3 est un carré modulo p, donc -3+kp=x^2, donc kp=g\bar g avec g=x+i\sqrt3.
Regarde bien les autres questions. A ce stade, je vois plusieurs possibilités.










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