A propos des inégalités

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Posted by: Mhdi

Salut,

J'aurais quelque questions à vous poser :

- Quand peut-on dire d'une inégalité qu'elle est symétrique (pour pouvoir poser a>=b>=c par exemple) ?
- Quand peut-on dire d'une inégalité qu'elle est homogène (pour pouvoir poser a+b+c=1, abc=1, etc...)

Désolé de vous importuner par mes questions


Posted by: Matt_01

Salut :)
Une inégalité symétrique permet en effet de pouvoir poser certaines conditions telles qu'un ordre entre les données.
Tu peux remarquer une symétrie (pas nécessairement dans une inégalité), lorsque les données peuvent être permutées sans modifier la structure.
Quelques exemples :
a^b+b^a
\sqrt[a]b+\sqrt[b]a

etc ...

Après pour l'homogénéité, je ne l'utilise pas donc je ne peux pas te dire, désolé.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Mhdi
- Quand peut-on dire d'une inégalité qu'elle est homogène (pour pouvoir poser a+b+c=1, abc=1, etc...)


Tu importunes personne, un forum c'est fait pour ça !

C'est homogène si ça change pas quand tu remplaces des x_i par \lambda x_i


Posted by: Mhdi

Si on a une inégalité avec trois variables, si on change a par b, doit-on modifier b par c et c par a, pour s'assurer de la symétrie?

Supposons qu'on doit prouver que : a+b>=b-a
Est-ce que l'inégalité est homogène?


Posted by: Zweig

On dit qu'une fonction f est homogène de degré \alpha s'il existe un réel \alpha tel que pour tout réel \lambda :

f(\lambda a_1, \lambda a_2,\cdots, \lambda a_n) = \lambda^{\alpha}f(a_1, a_2,\cdots, a_n)

En pratique, tu remplaces chacune de tes variables par \lambda a_i et tu regardes s'il existe un réel \alpha (généralement, un entier naturel) tel que tu peux simplifier l'inégalité par \lambda^{\alpha} pour revenir à l'inégalité originelle. Dans ce cas, l'inégalité est dite homogène de degré \alpha et tu peux supposer des contrainte du genre abc = 1, a + b + c = 1 etc ... si elles n'existent pas déjà dans l'énoncé.


Posted by: Zweig

Exemples de fonctions homogènes :

f(a,b,c) = a + b + c

f(a,b,c) = ab + ac + bc

f(a,b,c) = abc

etc ...


Posted by: Zweig

Tu seras sûrement ammené aussi à rencontre le terme "somme cyclique" : une somme cyclique est invariante par permutation cyclique des variables, alors qu'une somme symétrique est invariante par permutation quelconque des variables.

(Si tu ne sais pas ce qu'est une permutation cyclique, voici un exemple. Les permutations cycliques de ABCDE sont : ABCDE, EABCD, DEABC, CDEAB, BCDEA. J'espère que l'exemple est clair.)

Exemples :

* x/y + y/z + z/x est une somme cyclique, parce que si, par exemple, on met y a la place de x, z a la place de y et x à la place de z (permutation cyclique des trois variables), on obtient y/z + z/x + x/y, i. e. la même somme. Par contre, ce n'est pas une somme symétrique, parce que si on permute y et z sans toucher à x, on obtient x/z + z/y + y/x, ce qui n'est pas la meme chose.

* x^2yz + xy^2z + xyz^2 est une somme symetrique.

Intuitivement, dans une somme cyclique, aucune variable ne joue un role different des autres, mais il y a tout de meme un ordre dans lequel les varialbes se suivent. En revanche, dans une somme symetrique, toutes les variables sont completement interchangeables.

On peut aussi parler de somme cyclique (ou symetrique) d'un membre. Cela signifie la somme de tous les membres obtenus par des permutations cycliques (ou symetriques) du membre en question. Par exemple (si on sait qu'il y a trois variables) :

\sum_{cycl} x/y = x/y + y/z + z/x
\sum_{sym} x^2y = x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2.

Cette notation n'est pas rigoureuse (on ne la rencontrera jamais dans un enonce), mais elle a l'avantage de raccorcir l'ecriture et de la rendre plus claire.

Attention : quand on ecrit somme symetrique de xyz (avec trois variables), le resultat n'est pas xyz, mais 6xyz. En effet, il y a 6 permutations de trois variables, donc 6 membres - meme si en l'occurrence, ils sont tous egaux.


Posted by: Mhdi

Citation:
* x^2yz + xy^2z + xyz^2 est une somme symetrique.


Je n'ai pas très bien compris pourquoi : si on chnage x par y, on n'obtient pas la même expression

Si quelqu'un vaitquelques petites applications de ces "notions", je lui serais très reconnaissant.


Posted by: ffpower

ben si,si on echange x et y ca fait y^2xz+yx^2z+yxz^2,c est bien la meme chose(a moins qu on soit pas en commutatif lol)


Posted by: Mhdi

Ah! J'avais oublié de changer y en x -_-'










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