Mathématiques - projection et projeté

projection et projeté
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Posted by: MacManus

Bonsoir

J'ai un petit exercice concernant la caractérisation d'une projection orthogonale.
Soit E = C([0,1],R) l'espace vectoriel des applications continues de [0,1] dans R, muni du produit scalaire (,) suivant :

$\forall f,g \in E$ , $\forall t\in[0,1]$ $\large (f,g) = \int_{0}^1f(t)g(t)dt$

On note F le sous-espace de E formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 1.

1/ Pour tout f $\in$ E, donner la caractérisation de sa projection orthogonale $\tilde f$ sur F.

2/ Soit g $\in$ E définie par g(x) = x². Déterminer le polynôme P projeté orthogonal de g sur F.

1/ Les sous-espace F et $F^{\perp}$ sont en somme directe, et $E = F \oplus F^{\perp}$ . Donc un élément f de E se décompose de manière unique : $f = p_F(f)+p_{F^{\perp}}(f) = \tilde f+p_{F^{\perp}}(f)$ .
Donc le produit scalaire suivant est nul : $(f-p_F(f) , p_{\perp F}(f)) = 0$ , cad : $(f-\tilde f, p_{F^{\perp}}(f)) = 0$

Est-ce vraiment ça caractériser la projection orthogonale de f sur F ?
Pour la question 2) je peux utiliser la formule de cette même caractérisation non ?

Merci beaucoup pour votre aide!

Posted by: yos

$\tilde f\in F$ et $f-\tilde f\in F^\perp$ ça suffit non?

Posted by: MacManus

Oui c'est correct et je pense que c'est suffisant...mais comment puis-je utiliser l'expression du produit scalaire pour déterminer $\tilde g$ , projeté de g(x) = x² sur F ??

Posted by: yos

Plusieurs méthodes :

1) Prends une BO de F : (1,P) avec P(X)=aX+b, a et b convenables.
puis projette $g(t)$ sur 1 et sur P : $\int_0^1 g(t)1\,dt$ et $\int_0^1 g(t)P(t)\,dt$ sont les coefs cherchés.

2) Ecris simplement $\tilde g(t)=at+b$ et le fait que le produit scalaire de $g-\tilde g$ avec ut+v est nul pour tous u,v (en fait il suffit de l'écrire pour u=0,v=1 puis u=1,v=0.

Les deux méthodes doivent se valoir.

Posted by: MacManus

Merci Yos !

Pour la 1ère méthode, comment trouver/justifier les valeurs de a et b ?? (même si par la suite je trouve les intégrales qui correspondent aux coefficients(en fonction donc de a et b pour la deuxième intégrale))

Pour la 2ème méthode, si j'écris le produit sclaire < t²-at-b , ut+v > pour u=0,v=1 et u=1,v=0, je ne trouve toujours pas les valeurs prises par a et b....

merci pour ton aide