Mathématiques - project° ortho + approximation erreur

project° ortho + approximation erreur
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: bstevy

bjr a tous !!
aujourdh'ui, notre prof nous a demander qlq chose de bizare (enfin, ca me semble bizare)
et je voulais savoir si qlq un connaissait qlq chose a ce sujet !!
elle nous a demander la definition de la projection orthogonal (facil) !! mais ensuite, elle nous a demander de parler de projection orthogonal dans le cadre de l'approximation d'erreurs ... !!
est ce que ca dit qlq chose a qlq'un, qui pourrait juste m'expliquer rapidement le rapport que je n'arrive pas tres bien a cerné !!
merci d'avance

Steven

Posted by: jose_latino

J'imagine que ça a une rélation avec la théorie de séries de Fourier.
L'idée générale est d'obtenir un approchement de vecteurs qui appartient à un espace de dimension infinie, comme l'espace des fonctions continues sur l'intervalle [0,1]. On va penser à cet exemple. On peut donner un produit interne à cet espace: $\langle f,g\rangle:=\int_0^1fg$ . Tu peux démontrer que l'ensemble des fonctions $\cos(2\pi kx), \sin(2\pi kx)$ où $k\in\mathbb{N}$ est un ensemble orthogonal. Soit $S_n$ l'espace engrendré par $1, \cos(2\pi x), \sin(2\pi x), ...,\cos(2\pi nx), \sin(2\pi nx)$ , et considère $P_n$ la projection orthogonale sur ce sous-espace. La théorie de Fourier permet démontrer que ${} \underset{n\to \infty}{\lim} ||f-P_nf ||=0$ , ça veut dire $P_nf$ est une approchement de $f$

Rémarque: J'ai parlé à grosso modo, il manque beaucoup de détails, mais basiquement c'est ça.