Produit

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Posted by: bitonio

Bonjour à tous,

un petit produit qui me pose un soucis... je ne sais pas par quel front l'attaquer:

\prod _{k=1}^{n-1}(1-e^{2ik \pi /n})

Merci d'avance pour une piste

Ciaoooo

NB: on est sencé trouver 2^{n-1} \prod _{k=1}^{n-1} sin(\frac {k \pi }{n}


Posted by: sandrine_guillerme

salut

juste une idée comme ça, pense à la formule de l'arc moitié


Posted by: yos

Citation:
Posté par bitonio
\prod _{k=0}^{n-1}(1-e^{2ik \pi /n})

[/TEX]

Bonjour.

Je pense qu'il faut partir de 1 et pas de 0 (sinon le produit est nul).

Le produit cherché est alors la valeur en 1 du polynôme unitaire ayant pour racines toutes les racines n-ème de l'unité sauf 1. Ce polynôme est 1+X+X^2+...+X^{n-1}. Sa valeur en 1 est n.

Quant à l'autre expression, on l'atteint avec l'indication de Sandrine.


Posted by: bitonio

formule de l'arc moitié, vous entendez bien formule de la tangente de l'arc moitié ?


Posted by: bitonio

Humm je suis vraiment bloqué... je ne vois pas le rapport avec l'ange de moitié (ca doit être évident pourtant!)


Posted by: MikO

par reccurence c'est tres facile :)
sinon remarque que 1-e{\frac{i2k\pi}{n}} =2i\times e^{\frac{ik\pi}{n}}\times sin(\frac{-k\pi}{n}


Posted by: aviateurpilot

on pose P(z)=z^n-1=\bigprod_{k=0}^{n-1}(z-e^{2k\pi/n}) et Q(z)=1+z+z^2+...+z^{n-1}
on a P(z)=(z-1)Q(z)
donc \forall k \in [|1,n-1|] Q(e^{2k\pi/n})=0\ car\ 1-e^{2k\pi/n}\neq 0
par suite

Q(z)=\bigprod_{k=1}^{n-1}(z-e^{2k\pi/n})
on remplace z par 1
Q(1)=n
et Q(1)=|Q(1)|=\bigprod_{k=1}^{n-1}|e^{k\pi/n}|.|e^{-k\pi/n}-e^{+k\pi/n}|=2^{n-1}|i^{n-1}|.\bigprod_{k=1}^{n-1}sin(k\pi/n).|e^{k\pi/n}|=2^{n-1}\bigprod_{k=1}^{n-1}sin(k\pi/n)


Posted by: bitonio

merci beaucoup !! :)


Posted by: aviateurpilot

de rien


Posted by: bitonio

je me demande un truc... pour justifier que | q_n | = q_n... on fait comment ? on admet que c'est le cas car on sait que le résultat appartient à R ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par bitonio
je me demande un truc... pour justifier que | q_n | = q_n... on fait comment ? on admet que c'est le cas car on sait que le résultat appartient à R ?

j'ai deja trouvé que Q(1)=n\in R


Posted by: bitonio

en fait ta méthode est parfaite, mais l'exercice nous guide un peu et nous oblige à suivre une méthode précise, qui n'est pas exactement la tienne.

Il faut en premier montrer que q_n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{i \pi k/n})=2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} sin(k \pi/n)

Ensuite factoriser le polynome 1+x+x²...+x^(n-1), et en déduire que q_n =n

As tu une idée pour remedier au problème ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par bitonio
en fait ta méthode est parfaite, mais l'exercice nous guide un peu et nous oblige à suivre une méthode précise, qui n'est pas exactement la tienne.

Il faut en premier montrer que q_n=\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{i 2\pi k/n})=2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} sin(k \pi/n)

Ensuite factoriser le polynome 1+x+x²...+x^(n-1), et en déduire que q_n =n

As tu une idée pour remedier au problème ?


premierment

4$\fbox{ q_n=\bigprod_{k=1}^{n-1}(1-e^{i 2\pi k/n}) \\ =\bigprod_{k=1}^{n-1}\(-2ie^{ik\pi/n}sin(ik\pi/n)\) \\ =2^{n-1}(-i)^{n-1}\bigprod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}\times \bigprod_{k=1}^{n-1} sin(k \pi/n)}

et on a 4$\fbox{\bigprod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}=e^{i\pi/n\(\bigsum_{k=1}^{n-1}k\)} \\ =e^{\frac{i\pi}{n}\times \frac{n(n-1)}{2}} \\ =e^{i(n-1)\pi/2} \\ =i^{n-1}}

donc 4$\fbox{ q_n=\bigprod_{k=1}^{n-1}(1-e^{i 2\pi k/n}) \\ =2^{n-1}(-i)^{n-1}\times i^{n-1}\bigprod_{k=1}^{n-1} sin(k \pi/n) \\ =2^{n-1}\bigprod_{k=1}^{n-1} sin(k \pi/n)}

deuxiement

soit 4$\ p(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}
on a 4$\(x-1)p(x)=x^n-1
donc les racines 4$\ n-eme de 4$\1 (a part 4$\1) sont les 4$\ n-1 solutions de 4$\ p(x)=0
donc 4$\ p(x)=\bigprod_{k=1}^{n-1}(x-e^{2i\pi/n}).
donc 4$\fbox{q_n=p(1)=n}


Posted by: bitonio

merci beaucoup, c'est clair, parfait :)










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